حل السؤال 6، 4PM1/01 نوفمبر 2023: حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: هرم قائم قاعدته مربعة، وكل أحرفه متساوية الطول. المطلوب «بيّن أن» ارتفاع الهرم يساوي جذر اثنين على اثنين في طول الحرف.
كيف تحلّه؟
أوجد قطر القاعدة بفيثاغورس، ونصفه هو المسافة من المركز إلى الركن. ثم في المثلث القائم بين الحرف الجانبي والارتفاع ونصف القطر طبّق فيثاغورس مرة أخرى وبسّط.
- 1AC = √(x² + x²) = √2 x
- 2AO = (√2/2)x
- 3VO = √(x² − ((√2/2)x)²) = √(x²/2)
- 4VO = (√2/2)x
AnswerVO = (√2/2)x shown
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الهرم نفسه، المطلوب بالدرجات الزاوية عند الرأس العلوي بين حرفين جانبيين متقابلين قطريًا.
كيف تحلّه؟
في المثلث المكوّن من الحرفين الجانبيين وقطر القاعدة، أنت تعرف الأضلاع الثلاثة بدلالة طول الحرف: الحرفان متساويان، والقطر وجدته في الجزء السابق. قارن مربع القطر بمجموع مربعي الحرفين (عكس فيثاغورس)، أو طبّق قانون جيب التمام فيُختصر طول الحرف.
- 1Triangle AVC has VA = VC = x and AC = √2 x
- 2x² + x² = (√2 x)², so angle AVC = 90°
Answer90°
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في الهرم نفسه، المطلوب الزاوية بين وجهين جانبيين متقابلين للهرم، بالدرجات لمنزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
خذ منتصفي الضلعين المتقابلين في القاعدة. الخط من الرأس إلى كل منتصف عمودي على خط تقاطع الوجهين، والزاوية بينهما هي المطلوبة. أوجد طوليهما بفيثاغورس، والمسافة بين المنتصفين طول ضلع القاعدة، ثم طبّق قانون جيب التمام.
- 1Let M, N be midpoints of AB and DC: required angle is MVN
- 2VM = VN = √(x² − (x/2)²) = (√3/2)x, MN = x
- 3cos MVN = (3x²/4 + 3x²/4 − x²)/(2 × 3x²/4) = 1/3
- 4Angle MVN = 70.5°
Answer70.5°
الجزء (d) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حجم الهرم معطى، وقانون حجم الهرم معطى أيضًا. المطلوب طول الحرف لثلاثة أرقام معنوية.
كيف تحلّه؟
عوّض مساحة القاعدة (مربع الحرف) والارتفاع الذي أثبتّه في الجزء الأول في قانون الحجم، فتحصل على مكعب الحرف في عدد. ساوِ بالحجم المعطى، واجعل المكعب وحده، ثم خذ الجذر التكعيبي.
- 1Volume = (1/3) × x² × (√2/2)x = (√2/6)x³
- 2(√2/6)x³ = 200
- 3x³ = 1200/√2 = 848.5…
- 4x = 9.47
Answerx = 9.47
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط بالعربي
تدرّب على أسئلة حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara