حل السؤال 10، 4PM1/01 نوفمبر 2021: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المنحنى نصف زائد جيب ثلاثة أمثال السين، ويقطع محور السينات في نقطتين. المطلوب «بيّن أن» إحداثيات الأولى كما هو معطى، ثم أوجد إحداثيات الثانية.
كيف تحلّه؟
ساوِ الصاد بالصفر فيكون الجيب سالب نصف. اضرب المدى في ثلاثة لأن الزاوية ثلاثة أمثال السين، وأوجد الزاويتين في الربعين الثالث والرابع حيث الجيب سالب. ثم اقسم على ثلاثة. الفخ: نسيان توسيع المدى فتضيع إحدى الزاويتين.
- 11/2 + sin 3x = 0, so sin 3x = −1/2
- 23x = 7π/6 or 11π/6 (in range 0 ≤ 3x < 2π)
- 3x = 7π/18 (M) and x = 11π/18 (N)
AnswerM = (7π/18, 0) shown; N = (11π/18, 0)
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
للمنحنى نصف زائد جيب ثلاثة أمثال السين قيمة عظمى عند نقطة في المدى المعطى. المطلوب إحداثيا هذه النقطة.
كيف تحلّه؟
اشتق: مشتقة جيب ثلاثة أمثال السين هي ثلاثة أمثال جيب التمام. ساوِ المشتقة بالصفر وأوجد أصغر زاوية في المدى، ثم اقسم على ثلاثة لتجد السين، وعوّض في المعادلة لتجد الصاد. الفخ: نسيان القسمة على ثلاثة.
- 1dy/dx = 3cos 3x = 0
- 23x = π/2, x = π/6
- 3y = 1/2 + sin(π/2) = 3/2
- 4A = (π/6, 3/2)
AnswerA = (π/6, 3/2)
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب معادلة المماس للمنحنى عند نقطة القطع الأولى مع محور السينات، على الصورة المعطاة بمعاملات صحيحة.
كيف تحلّه؟
عوّض بالسين عند تلك النقطة في المشتقة لتجد الميل، وسيكون فيه جذر ثلاثة. اكتب معادلة المستقيم بالنقطة والميل، ثم اضرب الطرفين في عدد يزيل الكسور ورتّب الحدود في طرف واحد. الفخ: خطأ في إشارة جيب التمام في الربع الثالث.
- 1At x = 7π/18: dy/dx = 3cos(7π/6) = −3√3/2
- 2y − 0 = −(3√3/2)(x − 7π/18)
- 3Multiply by 12: 12y = −18√3x + 7√3π
- 412y + 18√3x − 7√3π = 0
Answer12y + 18√3x − 7√3π = 0
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: المنطقة المظللة جزء منها فوق محور السينات وجزء تحته. المطلوب «بالتكامل الجبري» مساحتها الكلية مقرّبة إلى ثلاثة أرقام معنوية.
كيف تحلّه؟
كامل الدالة: نصف يصير نصف السين، وجيب ثلاثة أمثال السين يصير سالب جيب التمام مقسومًا على ثلاثة. احسب تكاملين منفصلين: من الصفر إلى نقطة القطع الأولى، ومنها إلى الثانية. التكامل الثاني سالب لأنه تحت المحور، فخذ قيمته المطلقة ثم اجمع. الفخ: التكامل مرة واحدة على كل المدى فيُطرح الجزء السفلي.
- 1Area = ∫ from 0 to 7π/18 of (1/2 + sin 3x) dx + |∫ from 7π/18 to 11π/18 of (1/2 + sin 3x) dx|
- 2∫ (1/2 + sin 3x) dx = x/2 − (cos 3x)/3
- 3First integral = 1.23287…
- 4Second integral = −0.22828…, area 0.22828…
- 5Total area = 1.46
Answer1.46
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara