حل السؤال 7، 4PM1/02 نوفمبر 2021: المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
متسلسلة هندسية معطى مجموع حدودها الثلاثة الأولى ومجموعها إلى ما لا نهاية. المطلوب «بيّن أن» الأساس أربعة أخماس، ثم أوجد الحد الأول.
كيف تحلّه؟
اكتب معادلتين: قانون مجموع ثلاثة حدود، وقانون المجموع إلى ما لا نهاية. اقسم الأولى على الثانية فيُختصر الحد الأول ويبقى واحد ناقص مكعب الأساس يساوي نسبة عددية. أوجد المكعب ثم خذ الجذر التكعيبي. بعدها عوّض بالأساس في قانون المجموع إلى ما لا نهاية لتجد الحد الأول.
- 1(i) a(1 − r³)/(1 − r) = 61/6 and a/(1 − r) = 125/6
- 2Divide: 1 − r³ = (61/6)/(125/6) = 61/125
- 3r³ = 64/125
- 4r = 4/5
- 5(ii) a/(1 − 4/5) = 125/6
- 6a = (125/6)(1/5) = 25/6
Answer(i) r = 4/5 shown; (ii) a = 25/6
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
معطى أن مجموع أول ن حدًا أكبر من عدد معطى. المطلوب «بيّن أن» ن في لوغاريتم أربعة أخماس أصغر من لوغاريتم الكسر المعطى.
كيف تحلّه؟
اكتب قانون المجموع بالحد الأول والأساس اللذين وجدتهما، واجعله أكبر من العدد المعطى. اعزل قوة الأساس في طرف وحدها؛ عند ضربها في سالب واحد تنعكس المتباينة. ثم خذ اللوغاريتم العشري للطرفين وأنزل ن معاملًا.
- 1Sₙ = (25/6)(1 − 0.8ⁿ)/(1 − 0.8) = (125/6)(1 − 0.8ⁿ) > 19.8
- 21 − 0.8ⁿ > 594/625
- 30.8ⁿ < 31/625
- 4Take lg: n lg(0.8) < lg(31/625)
Answern lg(4/5) < lg(31/625) shown
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» باستخدام المتباينة التي أثبتّها في الجزء السابق، المطلوب أصغر عدد صحيح ن يجعل المجموع أكبر من العدد المعطى.
كيف تحلّه؟
اقسم الطرفين على لوغاريتم أربعة أخماس. انتبه: هذا اللوغاريتم سالب لأن العدد أصغر من واحد، فتنعكس إشارة المتباينة. احسب الناتج، ثم خذ أول عدد صحيح أكبر منه. الفخ: عدم عكس المتباينة، أو التقريب لأسفل.
- 1lg(0.8) < 0, so dividing reverses the inequality
- 2n > lg(31/625)/lg(0.8) = 13.46…
- 3Least n = 14
Answern = 14
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية بالعربي
تدرّب على أسئلة المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara