حل السؤال 10، 4PM1/02 نوفمبر 2023: جذرا α و β للمعادلة التربيعية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة تربيعية جذراها ألفا وبيتا، معطى مجموعهما ومجموع مكعبيهما. المطلوب «بيّن أن» حاصل ضربهما يساوي أربعة.
كيف تحلّه؟
استخدم المتطابقة: مجموع المكعبين يساوي مكعب المجموع ناقص ثلاثة أمثال حاصل الضرب في المجموع. عوّض بالقيمتين المعطاتين وحلّ لتجد حاصل الضرب. الفخ: خطأ في إشارة مكعب العدد السالب.
- 1α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β)
- 2115/8 = (−5/2)³ − 3αβ(−5/2) = −125/8 + (15/2)αβ
- 3(15/2)αβ = 240/8 = 30
- 4αβ = 4
Answerαβ = 4 shown
الجزء (b) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب تكوين معادلة تربيعية معاملاتها أعداد صحيحة، جذراها مقداران: مربع أحد الجذرين زائد واحد مقسومًا على الجذر الآخر، والعكس.
كيف تحلّه؟
احسب مجموع الجذرين الجديدين بتوحيد المقامات، فيظهر مجموع المكعبين ومجموع الجذرين على حاصل الضرب. واحسب حاصل ضربهما بالتوسيع، وتحتاج مجموع المربعين وهو مربع المجموع ناقص ضعف الضرب. ثم كوّن المعادلة: مربع السين ناقص المجموع في السين زائد الضرب يساوي صفرًا، واضرب لإزالة الكسور. الفخ: خطأ في إشارة المجموع.
- 1Sum = (α³ + β³ + α + β)/(αβ) = (115/8 − 5/2)/4 = 95/32
- 2α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 25/4 − 8 = −7/4
- 3Product = (α²β² + α² + β² + 1)/(αβ) = (16 − 7/4 + 1)/4 = 61/16
- 4x² − (95/32)x + 61/16 = 0
- 532x² − 95x + 122 = 0
Answer32x² − 95x + 122 = 0
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس جذرا α و β للمعادلة التربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة جذرا α و β للمعادلة التربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara