حل السؤال 8، 0580/42 فبراير/مارس 2024: النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم رسمًا تقريبيًا للتمثيل البياني للمعادلة ص تساوي أربعة ناقص ثلاثة س على المحاور الفارغة. الرسم التقريبي يعني أن المهم هو الشكل والاتجاه وموضع التقاطع مع المحاور، ولا تحتاج إلى جدول قيم دقيق.
كيف تحلّه؟
المعادلة من الدرجة الأولى فتمثيلها مستقيم. الحد الثابت يحدد نقطة قطعه لمحور الصادات وهي فوق نقطة الأصل، ومعامل س السالب يعني أن المستقيم ينحدر نزولًا من اليسار إلى اليمين. ارسمه بالمسطرة بحيث يقطع محور السينات في الجهة الموجبة.
- 1Straight line crossing the y-axis at 4 (positive intercept)
- 2Negative gradient −3: it slopes down, crossing the x-axis at 4/3
- 3Draw it with a ruler
AnswerRuled line with negative gradient and positive y-intercept
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسمًا تقريبيًا لشكل المنحنى على المحاور الفارغة، دون جدول قيم. «ارسم رسمًا تقريبيًا» تعني أن المهم هو الشكل الصحيح وموضعه، لا الدقة في النقاط.
كيف تحلّه؟
فكّر في شكل منحنى مربع «س» المعتاد على شكل حرف «يو»، ثم لاحظ أن الإشارة السالبة تقلبه رأسًا على عقب. رأس المنحنى عند نقطة الأصل، والمنحنى كله تحت المحور الأفقي ومتماثل حول المحور الرأسي.
- 1Upside-down parabola (negative x²)
- 2Its maximum (vertex) is at the origin, so the curve lies below the x-axis
AnswerNegative quadratic, with vertex at origin
الجزء (ci) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى من الدرجة الثالثة. المطلوب إيجاد إحداثيات نقطتي التحوّل عليه، أي النقطتين اللتين يتحوّل عندهما المنحنى من صعود إلى هبوط أو العكس. يشترط السؤال إظهار جميع خطوات الحل، فالجواب وحده من الآلة الحاسبة لا يكفي.
كيف تحلّه؟
نشتق المعادلة ونساوي المشتقة بالصفر. نُخرج العامل المشترك فنحصل على قيمتين لـ«س». نعوّض كلًا منهما في المعادلة الأصلية لإيجاد «ص». الفخّ: خطأ في الإشارة عند اشتقاق الحد السالب.
- 1dy/dx = 18x − 6x²
- 218x − 6x² = 0
- 36x(3 − x) = 0, so x = 0 or x = 3
- 4x = 0: y = 10; x = 3: y = 10 + 81 − 54 = 37
- 5(0, 10) and (3, 37)
Answer(0, 10) and (3, 37)
الجزء (cii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
تُعطى نقطتا التحوّل على المنحنى. المطلوب تحديد أيّهما نقطة عظمى وأيّهما نقطة صغرى، مع بيان الطريقة التي قرّرت بها، فالحكم بلا تبرير لا يأخذ الدرجة كاملة.
كيف تحلّه؟
نجد المشتقة الثانية ونعوّض فيها الإحداثي السيني لكل نقطة. إذا كانت النتيجة موجبة فالنقطة صغرى، وإذا كانت سالبة فالنقطة عظمى. ويمكن بدلًا من ذلك فحص إشارة الميل قبل النقطة وبعدها. الفخّ: عكس القاعدة بين الموجب والسالب.
- 1d²y/dx² = 18 − 12x
- 2At x = 0: 18 > 0, so (0, 10) is a minimum
- 3At x = 3: 18 − 36 = −18 < 0, so (3, 37) is a maximum
Answer(0, 10) minimum with correct reason AND (3, 37) maximum with correct reason
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى بالعربي
تدرّب على أسئلة النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara