حل السؤال 6، 0580/41 مايو/يونيو 2021: الاحتمال الشرطي
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
على شكل فن ذي الدائرتين، المطلوب تظليل المنطقة: متمّم المجموعة الأولى متحدًا مع المجموعة الثانية. الفاصلة الصغيرة تعني «المتمّم»، أي كل ما ليس داخل المجموعة.
كيف تحلّه؟
متمّم المجموعة الأولى هو كل ما يقع خارج دائرتها، وهذا يشمل الثانية فقط وما خارج الدائرتين. الاتحاد مع المجموعة الثانية يضيف منطقة التداخل. إذن تظلّل كل شيء ما عدا منطقة «الأولى فقط».
- 1P′ is everything outside P; union with Q adds the overlap
- 2Shade Q and the region outside both circles (leave P only unshaded)
AnswerShaded: Q and the region outside P (everything except P only)
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في مجموعة من الطلاب، معطى عدد من يملكون هاتفًا محمولًا، وعدد من يملكون حاسوبًا، وعدد من لا يملكون أيًّا منهما. المطلوب إكمال شكل فن بكتابة عدد في كل منطقة من المناطق الأربع.
كيف تحلّه؟
اطرح عدد من لا يملكون شيئًا من العدد الكلي لتعرف من يملكون واحدًا على الأقل. اجمع عددي الهاتف والحاسوب واطرح منه هذا العدد لتجد من يملكون الاثنين. ثم اطرح التقاطع من كل مجموعة لتجد منطقتي «فقط». الخطأ الشائع أن مجموع العددين أكبر من عدد الطلاب، وهذا الفرق هو التقاطع نفسه.
- 1Outside both = 5, so n(M ∪ C) = 50 − 5 = 45
- 2n(M ∩ C) = 34 + 39 − 45 = 28
- 3M only = 34 − 28 = 6, C only = 39 − 28 = 11
AnswerM only: 6 M ∩ C: 28 C only: 11 Outside M and C: 5
الجزء (ci) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
يُظهر شكل فن عدد الطلاب الذين لديهم إخوة أو أخوات أو أبناء عمومة. المطلوب عدد الطلاب الذين لديهم إخوة. «اكتب» تعني أن الجواب يُقرأ من الشكل مباشرة ولا يحتاج خطوات طويلة.
كيف تحلّه؟
نجمع كل الأعداد الموجودة داخل دائرة الإخوة، بما فيها المناطق المشتركة مع الدائرتين الأخريين. الخطأ الشائع: أخذ العدد الموجود في جزء الإخوة فقط وإهمال التقاطعات.
- 1n(B) = 2 + 2 + 3 + 1 = 8
Answer8
الجزء (cii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
شكل فن يبيّن أعداد الطلاب الذين لديهم إخوة أو أخوات أو أبناء عمومة. المطلوب عدد الطلاب الذين لديهم أبناء عمومة وليس لديهم أخوات. عبارة «اكتب مباشرة» تعني أن الجواب يُقرأ من الشكل.
كيف تحلّه؟
نأخذ المناطق داخل دائرة أبناء العمومة فقط التي تقع خارج دائرة الأخوات: منطقة أبناء العمومة وحدهم، ومنطقة أبناء العمومة مع الإخوة فقط، ثم نجمع العددين. الفخ هو إدخال منطقة تشترك مع دائرة الأخوات.
- 1C but not S = 8 + 3 = 11
Answer11
الجزء (ciii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب عدد عناصر متممة اتحاد المجموعات الثلاث، أي عدد الطلاب الذين لا ينتمون إلى أي دائرة من الدوائر الثلاث.
كيف تحلّه؟
الاتحاد يشمل كل ما هو داخل أي دائرة، والمتممة هي ما يقع خارجه. لذلك نقرأ العدد المكتوب خارج الدوائر الثلاث داخل المستطيل. الخطأ الشائع: الخلط بين المتممة والتقاطع.
- 1Outside all three circles: n(B ∪ S ∪ C)′ = 2
Answer2
الجزء (civ) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
بالشكل نفسه عن الإخوة والأخوات وأبناء العمومة، المطلوب أن تكتب بالرموز الرياضية للمجموعات مجموعة الطلاب الذين لديهم أبناء عمومة وأخوات معًا، وليس لديهم إخوة.
كيف تحلّه؟
كلمة «معًا» تعني التقاطع، وعبارة «ليس لديهم» تعني المكمّلة. نكتب تقاطع مجموعة أبناء العمومة مع مجموعة الأخوات، ثم نقاطع الناتج مع مكمّلة مجموعة الإخوة. الفخ هو نسيان شرط عدم وجود الإخوة.
- 1Cousins and sisters, not brothers: C ∩ S ∩ B′
AnswerC ∩ S ∩ B′
الجزء (cv) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
يبيّن شكل فِن عدد الطلاب الذين لديهم إخوة أو أخوات أو أبناء عمومة. يُختار طالب عشوائيًا، والمطلوب احتمال أن يكون لديه أبناء عمومة. «أوجد» تعني احسب الناتج.
كيف تحلّه؟
اجمع كل الأعداد الموجودة داخل دائرة أبناء العمومة، بما فيها المناطق المشتركة مع الدائرتين الأخريين. اقسم المجموع على العدد الكلي للطلاب. الخطأ الشائع هو أخذ العدد الموجود في الدائرة وحدها فقط ونسيان المناطق المشتركة.
- 1n(C) = 8 + 3 + 7 + 1 = 19
- 2P(cousins) = 19/30
Answer19/30
الجزء (cvi) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مخطط فن لطلاب لديهم إخوة، أو أخوات، أو أبناء عمومة. يُختار طالبان عشوائيًا من بين من لديهم أبناء عمومة فقط. المطلوب احتمال أن يكون لدى كليهما إخوة.
كيف تحلّه؟
اجمع كل الأعداد داخل دائرة أبناء العمومة لتعرف حجم المجموعة. ثم اجمع من بينها الأعداد الواقعة أيضًا داخل دائرة الإخوة. اضرب احتمال الاختيار الأول في الثاني بعد إنقاص العددين بواحد، ثم بسّط. الفخ أن تنسى منطقة التقاطع الثلاثي أو تقسم على عدد الطلاب كلهم.
- 1Of the 19 with cousins, 3 + 1 = 4 have brothers
- 2P = 4/19 × 3/18 = 12/342 = 2/57
Answer2/57
الجزء (cvii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
هناك حدثان: الأول أن يكون للطالب أخوات، والثاني أن يكون له أبناء عمومة وليس له إخوة. المطلوب أن تشرح لماذا لهما الاحتمال نفسه. «اشرح» تعني أن تدعم إجابتك بالأعداد من الشكل.
كيف تحلّه؟
للحدث الأول اجمع كل الأعداد داخل دائرة الأخوات. للحدث الثاني اجمع الأعداد داخل دائرة أبناء العمومة التي تقع خارج دائرة الإخوة. ستجد أن المجموعين متساويان، فيكون الاحتمالان متساويين لأن العدد الكلي واحد. انتبه إلى استبعاد المناطق المشتركة مع دائرة الإخوة في الحدث الثاني.
- 1n(A) = 5 + 2 + 7 + 1 = 15, n(B) = 8 + 7 = 15
- 2Equal numbers, so both probabilities are 15/30
AnswerEqual numbers, 15 each, or equal probability 15/30
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الاحتمال الشرطي بالعربي
تدرّب على أسئلة الاحتمال الشرطي
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara