حل السؤال 7، 0580/41 مايو/يونيو 2021: النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أمامك كسر جبري بسطه ومقامه عبارتان تربيعيتان. المطلوب «التبسيط»، أي كتابة الكسر في أبسط صورة، مع إظهار الخطوات.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن البسط فرق بين مربعين فحلّله إلى قوسين، ثم حلّل المقام الثلاثي إلى قوسين أيضًا. اختصر القوس المشترك بين البسط والمقام. لا تشطب حدودًا منفردة قبل التحليل.
- 1x² − 25 = (x − 5)(x + 5)
- 2x² − x − 20 = (x − 5)(x + 4)
- 3Cancel (x − 5): (x + 5)/(x + 4)
Answer(x + 5)/(x + 4)
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أمامك مجموع كسرين جبريين. المطلوب أن تكتبهما «ككسر واحد في أبسط صورة»، أي بسط واحد فوق مقام واحد مع تبسيط البسط تمامًا.
كيف تحلّه؟
وحّد المقامات بضرب المقامين معًا، ثم اضرب بسط كل كسر في مقام الكسر الآخر. افتح الأقواس واجمع الحدود المتشابهة في البسط. انتبه لإشارات الحدود عند فك الأقواس، ويمكن ترك المقام محلّلًا أو مفكوكًا.
- 1Common denominator x(x − 1)
- 2[(x + 5)(x − 1) + x(x + 8)]/(x(x − 1))
- 3= (x² + 4x − 5 + x² + 8x)/(x(x − 1))
- 4= (2x² + 12x − 5)/(x(x − 1))
Answer(2x² + 12x − 5)/(x(x − 1)) or (2x² + 12x − 5)/(x² − x)
الجزء (ci) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى. المطلوب إيجاد المشتقة، أي الدالة التي تعطي ميل المنحنى عند أي نقطة.
كيف تحلّه؟
نشتق كل حد على حدة: نضرب المعامل في الأس ثم ننقص الأس واحدًا. الحد الثابت مشتقته صفر فيختفي. الفخّ: إبقاء الحد الثابت في الجواب أو نسيان ضرب المعامل في الأس.
- 1Multiply by the power, then take 1 off the power: axⁿ → naxⁿ⁻¹
- 22x³ → 3 × 2x² = 6x²
- 3−4x² → 2 × (−4)x = −8x
- 46 → 0 (a number on its own differentiates to 0)
- 5dy/dx = 6x² − 8x
Answer6x² − 8x
الجزء (cii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حساب ميل المنحنى نفسه عند قيمة معيّنة لـ«س». يمكنك الاستفادة من المشتقة التي وجدتها في الفقرة السابقة.
كيف تحلّه؟
الميل عند نقطة هو قيمة المشتقة عندها، فنعوّض قيمة «س» المعطاة في المشتقة من الفقرة السابقة ونحسب. الفخّ: التعويض في معادلة المنحنى الأصلية بدل المشتقة.
- 1The gradient is the value of dy/dx
- 2From part (i): dy/dx = 6x² − 8x
- 3At x = 4: 6 × 4² − 8 × 4 = 96 − 32 = 64
Answer64
الجزء (ciii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إيجاد إحداثيات النقطتين الثابتتين على المنحنى نفسه، أي النقطتين اللتين يكون عندهما الميل صفرًا. اكتب الإحداثيين السيني والصادي لكل نقطة.
كيف تحلّه؟
نساوي المشتقة بالصفر ونُخرج العامل المشترك فنحصل على قيمتين لـ«س». نعوّض كلًا منهما في معادلة المنحنى الأصلية لإيجاد «ص». مع القيمة الكسرية يُفضّل توحيد المقامات للحصول على جواب دقيق. الفخّ: التقريب العشري المبكّر أو التعويض في المشتقة.
- 1dy/dx = 6x² − 8x; stationary points are where dy/dx = 0
- 22x(3x − 4) = 0, so x = 0 or x = 4/3
- 3x = 0: y = 0 − 0 + 6 = 6
- 4x = 4/3: y = 128/27 − 192/27 + 162/27 = 98/27
- 5Stationary points: (0, 6) and (4/3, 98/27)
Answer(0, 6) and (4/3, 98/27)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى بالعربي
تدرّب على أسئلة النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara