حل السؤال 3، 0580/42 مايو/يونيو 2021: المعادلات الأسية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 20 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك ضرب قوتين للعدد سبعة. المطلوب أن تبسّط الناتج وتكتبه قوةً واحدة للعدد سبعة، أي سبعة مرفوعة إلى أُسّ واحد.
كيف تحلّه؟
عند ضرب قوى للأساس نفسه نُبقي الأساس ونجمع الأُسس. الفخ الشائع: ضرب الأُسس بدل جمعها.
- 17⁵ × 7⁶ = 7⁵⁺⁶ = 7¹¹
Answer7¹¹
الجزء (aii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك قسمة قوتين للعدد سبعة. المطلوب أن تبسّط الناتج وتكتبه قوةً واحدة للعدد سبعة.
كيف تحلّه؟
عند قسمة قوى للأساس نفسه نُبقي الأساس ونطرح أُسّ المقسوم عليه من أُسّ المقسوم. الفخ الشائع: قسمة الأُسس بدل طرحها.
- 17¹⁵ ÷ 7⁵ = 7¹⁵⁻⁵ = 7¹⁰
Answer7¹⁰
الجزء (aiii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن تحسب قيمة هذا التعبير ثم تكتب الناتج قوةً واحدة للعدد سبعة، أي سبعة مرفوعة إلى أُسّ.
كيف تحلّه؟
نحسب قيمة التعبير أولًا لنحصل على عدد واحد، ثم نسأل: كم مرة نضرب سبعة في نفسها لنصل إلى هذا العدد؟ عدد المرات هو الأُسّ.
- 142 + 7 = 49 = 7²
Answer7²
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«بسّط» تعني اكتب المقدار في أبسط صورة. داخل القوس حاصل ضرب حدّين فيهما أعداد ومتغيرات، والقوس كله مرفوع إلى قوة، والمطلوب الناتج حدًّا واحدًا بلا أقواس.
كيف تحلّه؟
نبسّط ما داخل القوس أولًا: نضرب العددين، ونجمع أسس المتغير المتكرر، مع تذكّر أن المتغير بلا أس ظاهر أسه واحد. ثم نرفع الحد الناتج إلى القوة: العدد يُرفع إلى القوة، وكل أس يُضرب في الأس الخارجي.
- 15x² × 2xy⁴ = 10x³y⁴
- 2(10x³y⁴)³ = 1000x⁹y¹²
Answer1000x⁹y¹²
الجزء (ci) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
العدد الأول معطى مكتوبًا كحاصل ضرب عوامل أولية، والعدد الثاني معطى كعدد عادي. المطلوب إيجاد «العامل المشترك الأكبر» لهما.
كيف تحلّه؟
اكتب العدد الثاني أيضًا كحاصل ضرب عوامله الأولية. خذ العوامل الأولية المشتركة بين العددين فقط، كلٌّ بأصغر قوة ظهر بها، واضربها معًا. لا تُدخل عاملًا موجودًا في أحد العددين دون الآخر.
- 1540 = 2² × 3³ × 5, P = 2⁵ × 3³ × 7
- 2HCF = 2² × 3³ = 108
Answer108
الجزء (cii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام العددين نفسيهما، المطلوب إيجاد «المضاعف المشترك الأصغر» لهما.
كيف تحلّه؟
بعد كتابة العددين كحاصل ضرب عوامل أولية، خذ كل عامل أولي يظهر في أيٍّ منهما بأكبر قوة ظهر بها. اضرب هذه العوامل معًا واحسب الناتج. الخطأ الشائع هو أخذ القوة الأصغر بدل الأكبر، أو إهمال عامل يظهر في عدد واحد فقط.
- 1Write 540 in primes: 540 = 2² × 3³ × 5
- 2LCM takes the highest power of each prime: 2⁵ × 3³ × 5 × 7
- 3= 32 × 27 × 35 = 30 240
Answer30 240
الجزء (ciii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
العدد الأول مكتوب في صورة حاصل ضرب عوامل أولية بقوى. عند ضربه في عدد صحيح مجهول يصبح الناتج عددًا مكعبًا. المطلوب إيجاد أصغر قيمة ممكنة لهذا العدد الصحيح المجهول. العدد الثاني المعطى في السؤال لا يُستخدم في هذا الجزء.
كيف تحلّه؟
في العدد المكعب يجب أن يكون أس كل عامل أولي من مضاعفات ثلاثة. انظر إلى أس كل عامل أولي في العدد المعطى، وحدّد كم ينقصه ليصل إلى أقرب مضاعف لثلاثة فوقه. العدد المجهول هو حاصل ضرب العوامل الناقصة فقط. العامل الذي أسه من مضاعفات ثلاثة أصلًا لا يحتاج إلى شيء.
- 1In a cube number, every prime's power is a multiple of 3.
- 2P = 2⁵ × 3³ × 7¹
- 32⁵ needs one more 2 to make 2⁶. 3³ is already a cube. 7¹ needs two more 7s to make 7³.
- 4R = 2 × 7² = 98
- 5Check: P × R = 2⁶ × 3³ × 7³ = 84³
Answer98
الجزء (di) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أمامك مقدار تربيعي. «حلّل تحليلًا كاملًا» يعني اكتبه على صورة حاصل ضرب قوسين لا يمكن تحليلهما أكثر.
كيف تحلّه؟
نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت ومجموعهما يساوي معامل الحد الأوسط. بما أن الحد الثابت سالب، فأحد العددين موجب والآخر سالب. نضع العددين في القوسين ونتحقق بالفك.
- 1−7 × 4 = −28 and −7 + 4 = −3
- 2x² − 3x − 28 = (x − 7)(x + 4)
Answer(x − 7)(x + 4)
الجزء (dii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المقدار فيه قوس يتكرر في الحدّين. المطلوب تحليله تحليلًا تامًّا، أي كتابته على صورة حاصل ضرب عوامل لا يمكن تحليلها أكثر.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن القوس نفسه موجود في الحدّين، فهو العامل المشترك. أخرجه خارج قوس كبير، واكتب داخله ما يبقى من كل حدّ. ثم فكّ القوس الداخلي واجمع الحدود المتشابهة لتبسيط العامل الثاني. الخطأ الشائع هو فكّ الأقواس كلها من البداية فيضيع العامل المشترك.
- 1Common factor (a + 2b): (a + 2b)[7(a + 2b) + 4a]
- 2= (a + 2b)(7a + 14b + 4a) = (a + 2b)(11a + 14b)
Answer(a + 2b)(11a + 14b)
الجزء (e) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة أسية فيها المجهولان س و ص، وكل أساساتها ترجع للعدد ثلاثة. المطلوب كتابة ص بدلالة س، أي أن تجعل ص وحدها في طرف وفي الطرف الآخر تعبير يحتوي س. اكتب خطواتك كاملة.
كيف تحلّه؟
نكتب الكسر الذي مقامه قوة للعدد تسعة كقوة للعدد ثلاثة بأس سالب. نجمع الأسس في الطرف الأيمن لأننا نضرب قوتين لهما الأساس نفسه. ثم نساوي أسّي الطرفين ونعيد ترتيب المعادلة لنعزل ص. انتبه للإشارات السالبة عند جمع الأسس.
- 11/9ˣ = 3⁻²ˣ, so 3²ˣ⁻¹ = 3⁻²ˣ × 3²ʸ⁻ˣ
- 22x − 1 = −2x + 2y − x
- 32y = 5x − 1
- 4y = (5x − 1)/2
Answer(5x − 1)/2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المعادلات الأسية بالعربي
تدرّب على أسئلة المعادلات الأسية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara