حل السؤال 21، 0580/21 مايو/يونيو 2025: البراهين المتجهية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 21 (Extended) · بدون آلة حاسبة · 5 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معين أحد رؤوسه نقطة الأصل، وقطراه يتقاطعان في نقطة. معطى متجه من الأصل إلى نقطة التقاطع ومتجه من رأس آخر إلى نقطة التقاطع. المطلوب كتابة متجه الضلع من الأصل إلى ذلك الرأس بدلالة المتجهين، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
امشِ من الأصل إلى نقطة تقاطع القطرين، ثم من نقطة التقاطع إلى الرأس. الجزء الثاني عكس المتجه المعطى، فيأخذ إشارة سالبة. اجمع الجزأين.
- 1→OA = →OP + →PA = 2m − n
Answer2m − n
الجزء (aii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
نفس المعين: قطراه يتقاطعان في نقطة، ومعطى متجه من الأصل إلى نقطة التقاطع ومتجه من أحد الرؤوس إلى نقطة التقاطع. المطلوب الآن متجه الضلع الآخر الخارج من الأصل بدلالة المتجهين، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
قطرا المعين ينصّف كلٌّ منهما الآخر، فالجزء من نقطة التقاطع إلى الرأس المطلوب يساوي المتجه المعطى على القطر الآخر بنفس الاتجاه. امشِ من الأصل إلى نقطة التقاطع ثم إلى الرأس المطلوب، واجمع. الفخ الشائع: وضع إشارة سالبة هنا كما في الجزء السابق، مع أن الاتجاه هنا موافق.
- 1Diagonals of a rhombus bisect each other, so →PC = →AP = n
- 2→OC = →OP + →PC = 2m + n
Answer2m + n
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في المعين، القطران يتقاطعان في نقطة، ولديك متجهان على القطرين بدلالة رمزين. نقطة جديدة معطى متجهها من أحد الرؤوس. المطلوب «أثبت» أن الشكل الرباعي الجديد شبه منحرف، أي أن فيه ضلعين متوازيين، مع كتابة خطوات تبرهن ذلك.
كيف تحلّه؟
نعبّر أولًا عن متجهي ضلعي المعين الخارجين من نقطة الأصل بدلالة الرمزين، مستفيدين من أن القطرين ينصّف كلٌّ منهما الآخر. ثم نكتب متجه الضلع الجديد بالسير عبر رؤوس معلومة ونجمع ونبسّط. نخرج عاملًا مشتركًا فيظهر أن هذا المتجه مضاعف لمتجه ضلع آخر، فهما متوازيان، ونكتب هذه الجملة صراحة كخاتمة للإثبات.
- 1→CD = →CO + →OA + →AD = −(2m + n) + (2m − n) + 10m − 3n
- 2→CD = 10m − 5n = 5(2m − n) = 5→OA
- 3So CD is parallel to OA (and 5 times as long), therefore OADC is a trapezium
Answer→CD = 10m − 5n = 5→OA, so CD is parallel to OA, therefore OADC is a trapezium
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس البراهين المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة البراهين المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara