حل السؤال 9، 0580/42 مايو/يونيو 2021: معادلة المماس
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المقدار التكعيبي المعطى يمكن كتابته على صورة س مضروبة في مربع قوس فيه ثابت مجهول. المطلوب إيجاد قيمة هذا الثابت.
كيف تحلّه؟
أخرج س عاملًا مشتركًا من الحدود الثلاثة، فيبقى مقدار تربيعي. لاحظ أن هذا المقدار مربع كامل، فاكتبه على صورة مربع قوس واقرأ الثابت منه. انتبه لإشارة الثابت مقارنةً بالصورة المعطاة.
- 1x³ − 4x² + 4x = x(x² − 4x + 4) = x(x − 2)²
- 2a = 2
Answer2
الجزء (aii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم على المحورين رسمًا تقريبيًا لمنحنى الدالة التكعيبية المعطاة، واكتب على المحاور القيم التي يلتقي عندها المنحنى بها. المطلوب الشكل الصحيح ونقاط التقاطع، لا رسمًا دقيقًا.
كيف تحلّه؟
أخرج س عاملًا مشتركًا، فيبقى مقدار تربيعي هو مربع كامل. هذا يعني أن المنحنى يمر بنقطة الأصل، ويلمس محور السينات عند الجذر المكرر ويرتد دون أن يقطعه. المعامل الرئيسي موجب، فيبدأ المنحنى من الأسفل وينتهي في الأعلى. الخطأ الشائع هو جعل المنحنى يقطع المحور عند الجذر المكرر بدل أن يلمسه.
- 1Positive cubic through O (0, 0)
- 2Touches the x-axis at (2, 0) (repeated root) and turns there
- 3Label 0 and 2 on the x-axis
AnswerCorrect sketch with curve passing through O and touching (2, 0)
الجزء (b) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى. المطلوب إيجاد معادلة المماس للمنحنى عند قيمة معيّنة لـ«س»، وكتابتها على صورة «ص تساوي الميل مضروبًا في س زائد المقطع الصادي».
كيف تحلّه؟
نشتق المعادلة ونعوّض قيمة «س» فيها لنحصل على ميل المماس. ثم نعوّض قيمة «س» نفسها في معادلة المنحنى الأصلية لنحصل على نقطة التماس. بعدها نعوّض الميل والنقطة في معادلة المستقيم لإيجاد المقطع الصادي. الفخّ: استخدام قيمة المشتقة بدل قيمة المنحنى عند إيجاد «ص» لنقطة التماس.
- 1dy/dx = 3x² − 8x + 4
- 2At x = 4: gradient = 48 − 32 + 4 = 20
- 3At x = 4: y = 64 − 64 + 16 = 16, point (4, 16)
- 416 = 20 × 4 + c, so c = −64
- 5y = 20x − 64
Answery = 20x − 64
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس معادلة المماس بالعربي
تدرّب على أسئلة معادلة المماس
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara