حل السؤال 10، 0580/43 أكتوبر/نوفمبر 2024: معادلة المماس
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
يُعطى رسم تقريبي لمنحنى تربيعي ونقطتان عليه. المطلوب في هذه الفقرة فقط إيجاد مشتقة تعبير المنحنى.
كيف تحلّه؟
نشتق كل حد على حدة: الحد الثابت يختفي، وحد «س» وحده يصبح معامله، والحد التربيعي نضرب معامله في الأس وننقص الأس واحدًا. الفخّ: إهمال الإشارة السالبة للحد التربيعي.
- 1Multiply by the power, then take 1 off the power: axⁿ → naxⁿ⁻¹
- 23 → 0
- 32x → 2
- 4−x² → −2x
- 5dy/dx = 2 − 2x
Answer2 − 2x
الجزء (bi) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إثبات أن معادلة المماس عند النقطة الواقعة على محور السينات هي المعادلة المعطاة. عبارة «أثبت أنّ» تعني أن الجواب معطى، وعليك كتابة الخطوات التي توصلك إليه بوضوح.
كيف تحلّه؟
نعوّض الإحداثي السيني للنقطة في المشتقة من الفقرة السابقة لنجد الميل. ثم نعوّض الميل وإحداثيي النقطة في معادلة المستقيم لإيجاد المقطع الصادي، فنصل إلى المعادلة المطلوبة. الفخّ: الاكتفاء بالتحقق من أن النقطة تقع على المستقيم دون حساب الميل من المشتقة.
- 1dy/dx = 2 − 2x
- 2At A, x = −1: gradient = 2 − 2(−1) = 4
- 3Put A(−1, 0) into y = 4x + c: 0 = −4 + c, so c = 4
- 4Tangent at A: y = 4x + 4
AnswerGradient = 2 − 2(−1) = 4, 0 = 4 × (−1) + c, c = 4 leading to y = 4x + 4
الجزء (bii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مستقيم مطلوب يكون عموديًا على مستقيم معادلته معطاة، ويمرّ بإحدى النقطتين المحددتين على المنحنى. اكتب معادلته على الصورة: ص تساوي م س زائد ج. المنحنى نفسه للتوضيح فقط.
كيف تحلّه؟
ميل المستقيم المعطى هو معامل س فيه، وميل العمودي هو سالب مقلوبه. عوّض بإحداثيات النقطة المطلوبة لتجد الجزء المقطوع من محور الصادات، ثم اكتب المعادلة. انتبه لاختيار النقطة الصحيحة من النقطتين.
- 1Perpendicular gradient = −1/4
- 23 = −1/4 × 2 + c
- 3c = 3 + 1/2 = 7/2
- 4y = −1/4 x + 7/2
Answery = −1/4 x + 7/2
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الرسم يبيّن منحنى تربيعيًا له نقطة عظمى (قمة). المطلوب إحداثيات هذه القمة.
كيف تحلّه؟
نشتق المعادلة ونساوي المشتقة بالصفر لنجد الإحداثي السيني. ثم نعوّضه في المعادلة الأصلية لنجد الإحداثي الصادي. يمكن أيضًا استخدام إكمال المربع، أو ملاحظة أن القمة تقع في منتصف المسافة بين نقطتي تقاطع المنحنى مع محور السينات.
- 1At the maximum, 2 − 2x = 0
- 2x = 1
- 3y = 3 + 2(1) − 1² = 4
- 4Maximum point (1, 4)
Answer(1, 4)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس معادلة المماس بالعربي
تدرّب على أسئلة معادلة المماس
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara