حل السؤال 8، 0580/42 مايو/يونيو 2023: معادلة المماس
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة على صورة حاصل ضرب ثلاثة أقواس، ومعطى لك شكلها بعد الفك. «أثبت أن» يعني أن تكتب خطوات الفك كاملة حتى تصل إلى الصيغة المعطاة بالضبط؛ النتيجة معروفة والدرجات على الخطوات.
كيف تحلّه؟
نضرب قوسين أولًا ونبسط الناتج. ثم نضرب الناتج في القوس الثالث، كل حد في كل حد، ونكتب كل الحدود قبل جمعها. أخيرًا نجمع الحدود المتشابهة لنصل إلى الصيغة المطلوبة. لا تكتب النتيجة مباشرة دون إظهار الحدود.
- 1(x − 4)(x + 1) = x² + x − 4x − 4 = x² − 3x − 4
- 2(x² − 3x − 4)(x − 2) = x³ − 2x² − 3x² + 6x − 4x + 8
- 3y = x³ − 5x² + 2x + 8
Answerx³ − 4x² + x² − 4x − 2x² + 8x − 2x + 8 leading to y = x³ − 5x² + 2x + 8
الجزء (aii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم على الشكل رسمًا تقريبيًا لمنحنى الدالة التكعيبية المعطاة، واكتب القيم التي يقطع عندها المنحنى المحورين. المطلوب الشكل الصحيح ونقاط التقاطع، لا رسمًا دقيقًا.
كيف تحلّه؟
استخدم عوامل الدالة التي وجدتها في الجزء السابق، وساوِ كل عامل بالصفر لتعرف أين يقطع المنحنى محور السينات. عوّض س بصفر لتجد نقطة التقاطع مع محور الصادات، وهي الحد الثابت. المعامل الرئيسي موجب، فيبدأ المنحنى من أسفل اليسار وينتهي أعلى اليمين ويمر بالنقاط الثلاث.
- 1y = 0 when x = 4, x = −1 or x = 2 (from the factors)
- 2x = 0 gives y = 8
- 3Sketch a positive cubic (rising at the right) crossing the x-axis at −1, 2 and 4 and the y-axis at 8
AnswerCorrect labelled sketch: positive cubic crossing the x-axis at −1, 2 and 4 only and crossing the y-axis at 8 only
الجزء (b) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى من الدرجة الثالثة، وله مماسان لهما الميل المعطى نفسه. المطلوب إيجاد معادلتي هذين المماسين على صورة «ص تساوي الميل مضروبًا في س زائد المقطع الصادي». يشترط السؤال إظهار جميع خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
نشتق المعادلة ونساوي المشتقة بالميل المعطى، فنحصل على معادلة تربيعية نحلّها بالتحليل فنجد قيمتين لـ«س». نعوّض كل قيمة في معادلة المنحنى الأصلية لنجد نقطة التماس. ثم نعوّض الميل ونقطة التماس في معادلة المستقيم لإيجاد المقطع الصادي لكل مماس. الفخّ: مساواة المشتقة بالصفر بدل الميل المعطى، أو الخطأ في الحساب مع القيمة الكسرية.
- 1dy/dx = 3x² − 10x + 2
- 23x² − 10x + 2 = 10, so 3x² − 10x − 8 = 0
- 3(3x + 2)(x − 4) = 0, so x = 4 or x = −2/3
- 4x = 4: y = 0, so 0 = 10 × 4 + c, c = −40: y = 10x − 40
- 5x = −2/3: y = −8/27 − 20/9 − 4/3 + 8 = 112/27, so c = 112/27 + 20/3 = 292/27
- 6y = 10x − 40 and y = 10x + 292/27
Answer10x − 40 and 10x + 292/27
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس معادلة المماس بالعربي
تدرّب على أسئلة معادلة المماس
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara