حل السؤال 8، 0580/41 أكتوبر/نوفمبر 2024: معادلة المماس
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 19 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك دالتان. المطلوب إيجاد قيم س التي تجعل الدالة الثانية تساوي العدد المعطى. كلمة «القيم» بالجمع تعني أن هناك أكثر من حل.
كيف تحلّه؟
اكتب عبارة الدالة الثانية واجعلها تساوي العدد المعطى، ثم انقل الثابت ليبقى مربع س وحده. خذ الجذر التربيعي بالإشارتين الموجبة والسالبة. الخطأ الشائع: نسيان الحل السالب.
- 1x² − 16 = 20
- 2x² = 36
- 3x = 6 and x = −6
Answer6 and −6
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت دالتان، والمطلوب إيجاد الدالة العكسية للدالة الأولى، أي الدالة التي تُلغي عملها. اكتب جوابك بدلالة س.
كيف تحلّه؟
اكتب الدالة على صورة ص تساوي القاعدة، ثم بدّل س و ص. انقل الحد الذي فيه ص إلى طرف وحده، ثم اقسم على معامله. انتبه لإشارة السالب أمام الحد الذي فيه المجهول.
- 1y = 7 − 3x, swap: x = 7 − 3y
- 23y = 7 − x
- 3f⁻¹(x) = (7 − x)/3
Answer(7 − x)/3
الجزء (aiii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب كتابة الدالة المركبة مضافًا إليها واحد، كتعبير جبري في أبسط صورة، أي بعد فك الأقواس وجمع الحدود المتشابهة.
كيف تحلّه؟
نضع الدالة الخطية داخل قوس مكان المتغير في الدالة التربيعية. نفك مربع القوس بضربه في نفسه، ونجمع الأعداد الثابتة ومعها الواحد. الخطأ الشائع هو تربيع كل حد وحده ونسيان الحد الأوسط.
- 1gf(x) + 1 = (7 − 3x)² − 16 + 1
- 2= 49 − 21x − 21x + 9x² − 15
- 3= 9x² − 42x + 34
Answer9x² − 42x + 34
الجزء (aiv) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم رسمًا تقريبيًا لمنحنى الدالة الثانية على المحورين، وبيّن على الرسم القيم التي يقطع عندها المنحنى المحورين. المطلوب الشكل الصحيح والقيم، لا رسمًا دقيقًا.
كيف تحلّه؟
حلّل الدالة باستخدام الفرق بين مربعين، ثم ساوِ كل قوس بالصفر لتجد نقطتي التقاطع مع محور السينات. عوّض س بصفر لتجد نقطة التقاطع مع محور الصادات. معامل مربع س موجب، فالمنحنى على شكل حرف يو، وأدنى نقطة فيه على محور الصادات نفسه لأن الجذرين متماثلان حوله.
- 1g(x) = (x − 4)(x + 4), so the graph crosses the x-axis at −4 and 4
- 2When x = 0, y = −16: the y-intercept and lowest point (turning point) is (0, −16)
- 3Sketch a U-shaped parabola through (−4, 0), (0, −16) and (4, 0), marking these values
AnswerCorrect sketch with roots marked at −4 and 4 and y-intercept and turning point at y = −16
الجزء (av) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
تُعطى دالتان، والمطلوب يخصّ الدالة التربيعية فقط. المطلوب إيجاد معادلة المماس لمنحناها عند قيمة سالبة لـ«س»، وكتابتها على صورة «ص تساوي الميل مضروبًا في س زائد المقطع الصادي».
كيف تحلّه؟
نشتق الدالة التربيعية ونعوّض قيمة «س» لإيجاد ميل المماس. نعوّض القيمة نفسها في الدالة لإيجاد «ص» لنقطة التماس. ثم نعوّض الميل والنقطة في معادلة المستقيم لإيجاد المقطع الصادي. الفخّ: أخطاء الإشارة عند ضرب عددين سالبين.
- 1Gradient = g′(x) = 2x
- 2At x = −3: gradient = 2 × (−3) = −6
- 3y = (−3)² − 16 = −7, so the point is (−3, −7)
- 4−7 = −6 × (−3) + c, so c = −25
- 5y = −6x − 25
Answery = −6x − 25
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم على المحورين رسمًا تقريبيًا لمنحنى الدالة: ثلاثة أُس س. المطلوب الشكل العام للمنحنى ونقطة تقاطعه مع محور الصادات.
كيف تحلّه؟
عوّض بالصفر مكان س لتعرف أين يقطع المنحنى محور الصادات، وهي نقطة فوق محور السينات. ارسم منحنى متزايدًا يرتفع بسرعة عند قيم س الموجبة، ويقترب من محور السينات عند قيم س السالبة دون أن يلمسه.
- 1h(0) = 3⁰ = 1, so the curve crosses the y-axis at (0, 1)
- 2Sketch an increasing curve that gets closer and closer to the x-axis for negative x and rises steeply for positive x
AnswerCorrect sketch with y-intercept above x-axis
الجزء (bii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
اكتب معادلة خط التقارب لمنحنى الدالة. «خط التقارب» هو الخط الذي يقترب منه المنحنى أكثر فأكثر دون أن يلمسه. «اكتب» تعني أن الجواب لا يحتاج إلى خطوات.
كيف تحلّه؟
عندما تصبح س سالبة وكبيرة جدًا تقترب قيمة الدالة الأُسّية من الصفر ولا تصل إليه. لذلك يقترب المنحنى من خط أفقي معروف هو محور السينات. اكتب الجواب معادلةً بدلالة ص.
- 1As x → −∞, 3ˣ → 0, so the asymptote is y = 0
Answery = 0
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس معادلة المماس بالعربي
تدرّب على أسئلة معادلة المماس
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara