حل السؤال 10، 0580/43 مايو/يونيو 2021: الدوال المركبة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت عدة دوال، والمطلوب حساب قيمة الدالة الأولى عندما يكون المدخل اثنين. عوّض العدد مكان س واحسب.
كيف تحلّه؟
نضع العدد مكان س في قاعدة الدالة الأولى، نضرب أولًا ثم نطرح، مع الالتزام بترتيب العمليات.
- 1f(2) = 3 × 2 − 2 = 4
Answer4
الجزء (aii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حساب قيمة الدالة الثانية عندما يكون المدخل اثنين. عوّض العدد مكان س في قاعدة الدالة الثانية واحسب.
كيف تحلّه؟
نضع العدد مكان س في قاعدة الدالة الثانية، نجري الضرب أولًا ثم الطرح، فنحصل على الناتج مباشرة.
- 1g(2) = 5 × 2 − 7 = 3
Answer3
الجزء (aiii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حساب قيمة الدالة المركبة عند عدد معطى، بتطبيق الدالة اليمنى أولًا ثم اليسرى.
كيف تحلّه؟
نعوّض العدد في الدالة الداخلية فنحصل على ناتج، ثم نعوّض هذا الناتج في الدالة الخارجية. انتبه للترتيب ولا تبدأ بالدالة الخارجية.
- 1gf(2) = g(f(2)) = g(4)
- 2= 5 × 4 − 7 = 13
Answer13
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
من بين الدوال المعطاة، المطلوب إيجاد الدالة العكسية للدالة الأولى. اكتب القاعدة بدلالة س مع إظهار الخطوات.
كيف تحلّه؟
اكتب ص تساوي القاعدة، ثم انقل الحد الثابت إلى الطرف الآخر بعكس إشارته، واقسم على معامل س. ثم بدّل الرمزين لتكتب العكس بدلالة س. انتبه أن تقسم الطرف كله وليس حدًا واحدًا منه.
- 1y = 3x − 2, so y + 2 = 3x
- 2x = (y + 2)/3
- 3f⁻¹(x) = (x + 2)/3
Answer(x+2)/3
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب كتابة الدالة المركبة بدلالة المتغير، وتقديم الجواب على صورة: معامل مربع المتغير، ثم معامل المتغير، ثم العدد الثابت، أي كثيرة حدود تربيعية مبسّطة.
كيف تحلّه؟
نضع الدالة الخطية كاملة مكان المتغير في الدالة التربيعية، أي نربّعها ثم نضيفها مرة أخرى. نفك المربع بعناية (حاصل ضرب القوس في نفسه) ثم نجمع الحدود المتشابهة. الخطأ الشائع هو تربيع كل حد وحده ونسيان الحد الأوسط.
- 1hf(x) = (3x − 2)² + (3x − 2)
- 2(3x − 2)² = 9x² − 6x − 6x + 4 = 9x² − 12x + 4
- 3hf(x) = 9x² − 12x + 4 + 3x − 2 = 9x² − 9x + 2
Answer9x² − 9x + 2
الجزء (d) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
تُعطى عدة دوال، والمطلوب إيجاد مشتقة إحداها فقط، وهي الدالة التي تحتوي على مربع «س» زائد «س».
كيف تحلّه؟
نشتق كل حد على حدة: نضرب في الأس ثم ننقصه واحدًا. حد «س» وحده مشتقته واحد. الفخّ: الخلط بين الدوال المعطاة واشتقاق دالة غير المطلوبة.
- 1Multiply by the power, then take 1 off the power: axⁿ → naxⁿ⁻¹
- 2x² → 2x
- 3x → 1
- 4h′(x) = 2x + 1
Answer2x + 1
الجزء (ei) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إيجاد قيمة س التي تجعل الدالة العكسية للدالة الأُسّية الأخيرة تساوي العدد المعطى. «جِد» تعني احسب القيمة.
كيف تحلّه؟
إذا كان عكس الدالة عند س يعطي عددًا معينًا، فإن الدالة نفسها عند ذلك العدد تعطي س. لذلك عوّض العدد المعطى في الدالة الأُسّية مباشرة واحسب القوة. لا حاجة لإيجاد قاعدة العكس أصلًا.
- 1j⁻¹(x) = 4 means x = j(4)
- 2x = 3⁴ = 81
Answer81
الجزء (eii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب تبسيط تركيب الدالة العكسية للدالة الأُسّية مع الدالة نفسها، أي تطبيق الدالة على س ثم تطبيق عكسها. «بسّط» تعني اكتب الناتج في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
الدالة العكسية تلغي أثر الدالة الأصلية، فتطبيقهما معًا يعيد المدخل كما هو. فالناتج هو المدخل نفسه دون حساب. لا تحاول إيجاد قاعدة العكس هنا فهي غير مطلوبة.
- 1j⁻¹ undoes j, so j⁻¹j(x) = x
Answerx
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال المركبة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال المركبة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara