حل السؤال 4، 0580/41 مايو/يونيو 2022: الدوال العكسية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت عدة دوال، والمطلوب حساب قيمة الدالة الأولى عندما يكون المدخل اثنين. عوّض العدد مكان س واحسب.
كيف تحلّه؟
نضع العدد مكان س في قاعدة الدالة الأولى، نضرب ثم نطرح لنحصل على الناتج.
- 1f(2) = 2 × 2 − 1 = 3
Answer3
الجزء (aii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حساب قيمة الدالة المركبة عند عدد معطى، بتطبيق الدالة اليمنى أولًا ثم اليسرى.
كيف تحلّه؟
نعوّض العدد في الدالة الداخلية أولًا، ثم نعوّض الناتج في الدالة الخارجية. الخطأ الشائع هو عكس الترتيب.
- 1gf(2) = g(3) = 3 × 3 − 2 = 7
Answer7
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
من بين الدوال المعطاة، المطلوب إيجاد الدالة العكسية للدالة الثانية. اكتب القاعدة بدلالة س مع إظهار الخطوات.
كيف تحلّه؟
اكتب ص تساوي القاعدة ثم بدّل بين س و ص. انقل الحد الثابت إلى الطرف الآخر بعكس إشارته، ثم اقسم الطرف كله على معامل المجهول. الخطأ الشائع هو نسيان قلب الإشارة عند النقل.
- 1y = 3x − 2, swap: x = 3y − 2
- 23y = x + 2
- 3g⁻¹(x) = (x + 2)/3
Answer(x + 2)/3
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إيجاد قيمة المتغير التي تجعل دالة المقلوب تساوي قيمة الدالة الأسية عند عدد سالب.
كيف تحلّه؟
نحسب الدالة الأسية عند العدد السالب، وتذكّر أن الأس السالب يعني المقلوب، فينتج كسر. ثم نساوي دالة المقلوب بهذا الكسر، فيكون المتغير هو مقام الكسر.
- 1j(−2) = 5⁻² = 1/25
- 21/x = 1/25
- 3x = 25
Answer25
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك عدة دوال معرّفة. المطلوب أن تطرح الدالة «هـ» من الدالة «د» وتكتب الناتج «ككسر واحد»، أي بسط واحد فوق مقام واحد.
كيف تحلّه؟
اكتب الدالة الأولى ناقص الدالة الثانية. حوّل الحدود غير الكسرية إلى كسر بنفس مقام الكسر الموجود بضربها في س. ثم اجمع البسوط فوق المقام الواحد وافتح الأقواس. انتبه لإشارة الطرح على كل الحدود.
- 1f(x) − h(x) = 2x − 1 − 1/x
- 2= (x(2x − 1) − 1)/x
- 3= (2x² − x − 1)/x
Answer(2x² − x − 1)/x
الجزء (e) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب تطبيق الدالة الأسية مرتين متتاليتين على عدد معطى. الناتج عدد كبير جدًا، لذا يمكن كتابته بالصيغة العلمية مقرّبًا لثلاثة أرقام معنوية.
كيف تحلّه؟
نحسب الدالة عند العدد أولًا، ثم نجعل الناتج أسًا جديدًا للأساس نفسه. نستخدم الآلة الحاسبة، ونكتب الجواب بالصيغة العلمية. الخطأ الشائع هو ضرب الناتج في نفسه بدلًا من جعله أسًا.
- 1j(2) = 5² = 25
- 2jj(2) = j(25) = 5²⁵ = 298 023 223 876 953 125
- 3≈ 2.98 × 10¹⁷
Answer2.98 × 10¹⁷ or 2.980... × 10¹⁷
الجزء (f) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إيجاد قيمة المتغير إذا كانت الدالة العكسية للدالة الأسية عنده تساوي عددًا معطى. الدالة العكسية تعكس عمل الدالة الأصلية.
كيف تحلّه؟
إذا كانت الدالة العكسية تعطي عددًا، فإن الدالة الأصلية عند ذلك العدد تعطي المتغير المطلوب. لذلك نحسب الدالة الأسية عند العدد المعطى مباشرة. الخطأ الشائع هو محاولة إيجاد قاعدة الدالة العكسية دون حاجة.
- 1j⁻¹(x) = 4 means x = j(4).
- 2j(x) = 5ˣ, so x = 5⁴ = 625
Answer625
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال العكسية بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال العكسية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara