حل السؤال 5، 0580/41 مايو/يونيو 2022: مساحة القطاع
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 17 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (aia) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل جزء من مثمّن منتظم مركزه نقطة، ويظهر فيه مثلث رأسه المركز وقاعدته أحد أضلاع المثمّن، مع نقطة منتصف هذا الضلع. المطلوب أن تُثبت أن زاوية قاعدة هذا المثلث عند أحد طرفي الضلع تساوي القيمة المعطاة، بكتابة الحساب الذي يوصل إليها.
كيف تحلّه؟
نجد أولًا الزاوية الداخلية للمثمّن المنتظم. الخط الواصل من المركز إلى رأس المثمّن ينصّف الزاوية الداخلية عند هذا الرأس، فنقسمها على اثنين. ويمكن بدلًا من ذلك إيجاد زاوية المركز في المثلث ثم استخدام مجموع زوايا المثلث وتساوي ساقيه.
- 1Interior angle of octagon = (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135°
- 2OA bisects angle HAB, so angle OAM = 135 ÷ 2 = 67.5°
Answer((8 − 2) × 180)/(8 × 2)
الجزء (aib) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مضلّع ثماني منتظم معلوم طول ضلعه، والشكل يُظهر مثلثًا واحدًا رأسه في المركز وقاعدته أحد الأضلاع، مع عمود من المركز إلى منتصف الضلع. المطلوب حساب مساحة المضلّع الثماني كله مع كتابة خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
المضلّع الثماني يتكوّن من ثمانية مثلثات متطابقة رؤوسها في المركز. نوجد ارتفاع أحد هذه المثلثات من المثلث القائم الصغير باستخدام الظل ونصف طول الضلع، ثم نحسب مساحة المثلث، ثم نضربها في ثمانية. الفخ هو نسيان استخدام نصف الضلع في المثلث القائم أو نسيان الضرب في ثمانية.
- 1AM = 6 ÷ 2 = 3 cm
- 2OM = 3 × tan 67.5 = 7.242… cm
- 3Area of triangle OAB = 1/2 × 6 × 7.242… = 21.72… cm²
- 4Area of octagon = 8 × 21.72… = 173.8… ≈ 174 cm²
Answer174 or 173.8....
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مثمّن منتظم معلوم طول ضلعه، والرسم يُظهر مثلثًا من المركز إلى طرفي أحد الأضلاع، مع منتصف ذلك الضلع. المطلوب أن تجد مساحة الدائرة التي تمرّ برؤوس المثمّن كلها، مع إظهار الخطوات.
كيف تحلّه؟
نصف قطر هذه الدائرة هو المسافة من المركز إلى أحد الرؤوس. في المثلث القائم المتكوّن من المركز ومنتصف الضلع وأحد الرأسين، تعرف نصف طول الضلع وزاوية معلومة من زوايا المثمّن، فاستعمل النسب المثلثية لإيجاد الوتر وهو نصف القطر. ثم احسب مساحة الدائرة. الخطأ الشائع استعمال طول الضلع كاملًا بدل نصفه في المثلث القائم.
- 1Radius OA: cos 67.5 = 3/OA, so OA = 3 ÷ cos 67.5 = 7.839… cm
- 2Area = π × 7.839…² = 193.06… ≈ 193 cm²
Answer193 or 193.0 to 193.1
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل خزان ماء أفقي على شكل نصف أسطوانة، مقطعه العرضي نصف دائرة، ونصف قطره وطوله معطيان بالمتر. المطلوب: احسب حجم الخزان.
كيف تحلّه؟
مساحة المقطع العرضي هي نصف مساحة الدائرة، أي نصف ط في مربع نصف القطر. ثم اضرب هذه المساحة في طول الخزان لتحصل على الحجم بالمتر المكعب. لا تنسَ النصف، ولا تخلط بين نصف القطر والقطر.
- 1Volume = 1/2 × π × 0.45² × 4
- 2= 1.272… ≈ 1.27 m³
Answer1.27 or 1.272 to 1.273
الجزء (bii) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
وعاء ماء أفقي مقطعه نصف دائرة معلوم نصف قطرها، وطوله معلوم، وأكبر عمق للماء فيه معلوم. المطلوب حساب كمية الماء باللتر، مقرّبة لأقرب عدد صحيح.
كيف تحلّه؟
مركز نصف الدائرة عند الحافة العليا، فنجد بُعد سطح الماء عن المركز بطرح العمق من نصف القطر. ثم نجد الزاوية عند المركز بجيب التمام، ونحسب مساحة القطعة بطرح مساحة المثلث من مساحة القطاع. نضرب في طول الوعاء لنحصل على الحجم بالمتر المكعب، ثم نضرب في ألف لنحوّله إلى لتر، ونقرّب لأقرب عدد صحيح. انتبه إلى أن المتر المكعب يساوي ألف لتر.
- 1Water surface is 0.45 − 0.3 = 0.15 m below the centre
- 2Angle at centre = 2 × cos⁻¹(0.15 ÷ 0.45) = 141.06°
- 3Segment = 141.06/360 × π × 0.45² − 1/2 × 0.45² × sin 141.06° = 0.1856 m²
- 4Volume = 0.1856 × 4 = 0.7426 m³
- 50.7426 × 1000 = 742.6, so 743 litres
Answer742 or 743
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس مساحة القطاع بالعربي
تدرّب على أسئلة مساحة القطاع
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara