حل السؤال 6، 0580/41 مايو/يونيو 2022: حل المعادلات بالطرق البيانية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل يعرض منحنى الدالة د. المطلوب إيجاد قيمة الدالة عندما تساوي س اثنين، أي قيمة ص على المنحنى عند هذه النقطة.
كيف تحلّه؟
ابدأ من القيمة المعطاة على محور السينات، واصعد أو انزل عموديًا حتى تصل إلى المنحنى، ثم اتجه أفقيًا إلى محور الصادات واقرأ القيمة. انتبه إلى أن القيمة قد تكون سالبة إذا كان المنحنى تحت محور السينات.
- 1Read up from x = 2 to the curve
- 2f(2) = −3
Answer−3
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل يعرض منحنى الدالة د. المطلوب حل المعادلة التي تكون فيها قيمة الدالة صفرًا، ضمن المدى المعطى لقيم س، أي إيجاد كل قيم س التي تحقق ذلك من الرسم.
كيف تحلّه؟
قيمة الدالة تساوي صفرًا عندما يقطع المنحنى محور السينات. حدّد كل نقاط القطع ضمن المدى المعطى واقرأ قيمة س عند كل منها. الخطأ الشائع نسيان أحد الحلول، فالمنحنى يصعد ثم ينزل ثم يصعد وقد يقطع المحور أكثر من مرة.
- 1f(x) = 0 where the curve crosses the x-axis
- 2x = −1, x ≈ 1.58, x ≈ 4.42
Answer−1, 1.55 to 1.6, 4.4 to 4.45
الجزء (aiii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المعادلة التي تكون فيها قيمة الدالة مساوية لعدد صحيح ثابت يرمز له بالحرف ك لها ثلاثة حلول ضمن المدى المعطى. المطلوب إيجاد أصغر قيمة ممكنة لهذا العدد الصحيح.
كيف تحلّه؟
تخيّل خطًا أفقيًا يتحرك صعودًا ونزولًا؛ عدد الحلول هو عدد مرات قطعه للمنحنى. يكون هناك ثلاثة حلول عندما يقع الخط بين القيمة الصغرى المحلية والقيمة العظمى المحلية، مع مراعاة ارتفاع طرف المنحنى الأيسر. اختر أصغر عدد صحيح يحقق ذلك. الخطأ الشائع اختيار عدد يمر تحت القيمة الصغرى أو تحت بداية المنحنى فيقل عدد الحلول.
- 1Three solutions when y = k cuts the curve three times: k above the minimum (≈ −8.2) and below the maximum (≈ 7.05)
- 2The left end of the curve is at y = −9, so y = −8 still cuts it three times
- 3Smallest integer k = −8
Answer−8
الجزء (aiv) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن ترسم على الشبكة خطًا مستقيمًا يمر بنقطة الأصل، بحيث يقطع المنحنى مرة واحدة فقط ضمن المدى المعطى لقيم س.
كيف تحلّه؟
أي خط يمر بنقطة الأصل يكون على صورة ص تساوي الميل مضروبًا في س. جرّب خطًا شديد الانحدار ميله سالب، فيقطع المنحنى مرة واحدة فقط في الجزء الأيسر. ارسمه بالمسطرة عبر نقطة الأصل وتحقق بالنظر أنه لا يلتقي المنحنى مرة أخرى. الخطأ الشائع رسم خط ميله موجب أو قليل الانحدار فيقطع المنحنى أكثر من مرة.
- 1Draw a ruled line through the origin with a steep negative gradient, e.g. y = −5x
- 2y = −5x passes through (−1.5, 7.5), (0, 0) and (2, −10)
- 3It crosses the curve only once, between x = −1.5 and x = 0
AnswerRuled line through origin intersecting curve once
الجزء (bi) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى تربيعي. المطلوب حساب قيمة المشتقة عند قيمة معيّنة لـ«س»، أي ميل المنحنى عند تلك النقطة.
كيف تحلّه؟
نشتق كل حد على حدة، والحد الثابت يختفي. ثم نعوّض قيمة «س» المعطاة في المشتقة. الفخّ: التعويض في المعادلة الأصلية بدل المشتقة.
- 13x² → 6x, −12x → −12, 7 → 0
- 2dy/dx = 6x − 12
- 3At x = 5: 6 × 5 − 12 = 30 − 12 = 18
Answer18
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى. المطلوب إحداثيات النقطة على المنحنى التي يكون عندها الميل صفرًا، أي النقطة التي يكون فيها المماس أفقيًا. اكتب الإحداثيين معًا.
كيف تحلّه؟
نشتق المعادلة لنحصل على دالة الميل، ثم نساويها بالصفر ونحل لنجد الإحداثي السيني. بعدها نعوّض في معادلة المنحنى الأصلية لنجد الإحداثي الصادي. الخطأ الشائع هو التعويض في المشتقة بدلًا من المعادلة الأصلية.
- 16x − 12 = 0, so x = 2
- 2y = 3 × 2² − 12 × 2 + 7 = 12 − 24 + 7 = −5
- 3(2, −5)
Answer(2, −5)
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
تُعطى دالة فيها مجهولان: أحدهما في الأس والآخر معامل، وتُعطى مشتقتها كاملة. المطلوب إيجاد قيمة كل من المجهولين.
كيف تحلّه؟
نشتق الدالة المعطاة بالقاعدة المعتادة مع إبقاء المجهولين كما هما. ثم نقارن كل حد في المشتقة الناتجة بالحد المقابل له في المشتقة المعطاة: الأس مع الأس والمعامل مع المعامل. الفخّ: نسيان أن الأس ينقص واحدًا بعد الاشتقاق، فيُؤخذ أس المشتقة على أنه المجهول مباشرة.
- 1dy/dx = 2p xᵖ⁻¹ + 2qx
- 22p xᵖ⁻¹ = 14x⁶: p − 1 = 6, so p = 7 (and 2 × 7 = 14)
- 32qx = 6x, so q = 3
- 4p = 7, q = 3
Answerp = 7, q = 3
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات بالطرق البيانية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات بالطرق البيانية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara