حل السؤال 9، 0580/43 مايو/يونيو 2022: النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 16 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم رسمًا تقريبيًا لمنحنى الدالة المعطاة في صورة حاصل ضرب أقواس، واكتب إحداثيات النقاط التي يقطع فيها المنحنى محور السينات ومحور الصادات. المطلوب الشكل الصحيح والنقاط، لا رسمًا دقيقًا.
كيف تحلّه؟
ساوِ كل قوس بالصفر لتجد نقاط التقاطع مع محور السينات. عوّض س بصفر لتجد نقطة التقاطع مع محور الصادات. انتبه إلى أن أحد الأقواس يحتوي على س بإشارة سالبة، فيكون معامل الحد التكعيبي سالبًا؛ لذلك يبدأ المنحنى مرتفعًا من اليسار وينتهي منخفضًا في اليمين. الخطأ الشائع هو رسمه بالاتجاه المعاكس.
- 1y = 0 when x = −1, x = 3, x = −3: crosses the x-axis at −3, −1 and 3
- 2x = 0: y = 1 × 3 × 3 = 9, crosses the y-axis at 9
- 3The x³ term is −x³, so draw a negative cubic (high on the left, low on the right) through these points
AnswerCorrect sketch of negative cubic crossing the x-axis at −3, −1 and 3 and crossing the y-axis at 9
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك مقدار على صورة حاصل ضرب ثلاثة أقواس، ومعطى لك الشكل النهائي. «أثبت أن» يعني أن تكتب خطوات الفك كاملة حتى تصل إلى الصيغة المعطاة بالضبط؛ النتيجة معروفة والدرجات على الخطوات.
كيف تحلّه؟
نبدأ بضرب القوسين اللذين يكوّنان فرقًا بين مربعين لأنه أسهل. ثم نضرب الناتج في القوس الباقي، كل حد في كل حد. نرتب الحدود لتطابق الصيغة المطلوبة. لا تقفز إلى النتيجة دون إظهار خطوة الضرب.
- 1(3 − x)(3 + x) = 9 − x²
- 2(x + 1)(9 − x²) = 9x − x³ + 9 − x²
- 3y = 9 + 9x − x² − x³
AnswerCorrect completion to y = 9 + 9x − x² − x³
الجزء (bii) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حساب الإحداثيات السينية فقط لنقطتي الدوران (النقطتين اللتين يتغير عندهما اتجاه المنحنى). يجب إظهار كل خطوات العمل وتقريب الجوابين لمنزلتين عشريتين.
كيف تحلّه؟
نشتق المعادلة ونساوي المشتقة بالصفر، فنحصل على معادلة من الدرجة الثانية لا تتحلل بسهولة. نرتبها ونحلها بالقانون العام، ثم نقرّب الجذرين لمنزلتين عشريتين. انتبه للإشارات عند نقل الحدود.
- 1dy/dx = 9 − 2x − 3x²
- 29 − 2x − 3x² = 0, so 3x² + 2x − 9 = 0
- 3x = (−2 ± √(2² − 4 × 3 × (−9)))/(2 × 3) = (−2 ± √112)/6
- 4x = −2.097… or x = 1.430…
- 5x = −2.10 and x = 1.43
Answer−2.10 and 1.43
الجزء (biii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المعادلة تساوي المنحنى بعدد ثابت، ولها حل واحد فقط عندما يكون هذا الثابت أصغر من عدد صحيح أول أو أكبر من عدد صحيح ثانٍ. المطلوب أكبر قيمة ممكنة للعدد الأول وأصغر قيمة ممكنة للعدد الثاني.
كيف تحلّه؟
نتخيّل خطًا أفقيًا يقطع المنحنى: يقطعه مرة واحدة فقط إذا كان تحت النقطة الصغرى أو فوق النقطة العظمى. نحسب الإحداثي الصادي لنقطتي الدوران من الجزء السابق. ثم نختار أقرب عدد صحيح تحت القيمة الصغرى وأقرب عدد صحيح فوق القيمة العظمى. الخطأ الشائع هو التقريب العادي بدلًا من التقريب للأسفل وللأعلى.
- 1At x = −2.097…: y = −5.049… (minimum)
- 2At x = 1.430…: y = 16.90… (maximum)
- 3One solution when k < −5.049… or k > 16.90…
- 4a = −6, b = 17
Answera = −6, b = 17
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى بالعربي
تدرّب على أسئلة النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara