حل السؤال 7، 0580/31 مايو/يونيو 2023: تطبيق نظريات الدائرة معًا
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 31 (Core) · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (aia) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل دائرة معلوم مركزها، وعليها عدة نقاط وخطوط. المطلوب «اكتب» الاسم الرياضي للخط الذي يصل بين نقطتين على الدائرة مرورًا بالمركز. اذكر الاسم فقط.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن طرفي الخط على محيط الدائرة، وأنه يمر بمركزها. الوتر الذي يمر بالمركز يسمى قطرًا. لا تسمِّه نصف قطر، فنصف القطر يبدأ من المركز وينتهي على الدائرة.
- 1BOD is a chord through the centre: diameter
AnswerDiameter
الجزء (aib) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل نفسه خط مستقيم يلمس الدائرة عند نقطة واحدة. المطلوب «اكتب» الاسم الرياضي لهذا الخط. كلمة «يلمس» تعني أنه يلتقي بالدائرة في نقطة واحدة فقط ولا يدخلها.
كيف تحلّه؟
الخط المستقيم الذي يلمس الدائرة في نقطة واحدة فقط دون أن يقطعها يسمى مماسًّا. لا تخلط بينه وبين الوتر الذي يقطع الدائرة في نقطتين.
- 1ABC touches the circle at B: tangent
AnswerTangent
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل دائرة معلوم مركزها، وقطر، ومستقيم يمس الدائرة عند طرف القطر، ومستقيم يمر بالمركز ويقطع المماس، ومعطى زاوية. السؤال يعطيك قياس الزاوية عند المركز، والمطلوب «اكتب» السببين الهندسيين اللذين يجعلان قياسها كذلك، أي اسمي الخاصيتين لا الحساب.
كيف تحلّه؟
السبب الأول: المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس، فإحدى زوايا المثلث قائمة. السبب الثاني: مجموع زوايا المثلث مئة وثمانون درجة، فنطرح منه الزاوية القائمة والزاوية المعطاة.
- 1Angle OBA = 90° because the angle between a tangent and a radius is 90°
- 2Angle AOB = 180 − 90 − 28 = 62° because angles in a triangle add to 180°
AnswerAngle between tangent and radius = 90, and angles in a triangle add to 180
الجزء (aiii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل نفسه. المطلوب «أعط السبب الهندسي» الذي يجعل زاوية أخرى عند المركز مساوية للزاوية السابقة. المطلوب اسم الخاصية فقط.
كيف تحلّه؟
الزاويتان تتكونان من تقاطع مستقيمين عند المركز، وتقعان متقابلتين بالرأس، والزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان.
- 1Angle DOE = angle AOB = 62° because vertically opposite angles are equal
AnswerVertically opposite angles are equal
الجزء (aiva) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل نفسه. المطلوب «أوجد» قياس الزاوية عند نقطة على الدائرة بين وترين يصلانها بطرفي القطر.
كيف تحلّه؟
الوتران يصلان النقطة بطرفي قطر، فالزاوية بينهما زاوية محيطية مرسومة على القطر، أي زاوية في نصف دائرة، وهي قائمة دائمًا.
- 1BD is a diameter, so angle DEB is an angle in a semicircle
- 2Angle DEB = 90°
Answer90
الجزء (aivb) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل نفسه. المطلوب «أوجد» قياس زاوية في المثلث الذي رأسه مركز الدائرة وضلعاه نصفا قطرين.
كيف تحلّه؟
ضلعا المثلث الخارجان من المركز نصفا قطر فهما متساويان، فالمثلث متطابق الضلعين وزاويتا قاعدته متساويتان. نطرح زاوية الرأس عند المركز من مجموع زوايا المثلث، ثم نقسم الباقي على اثنين.
- 1OD = OE (radii), so triangle ODE is isosceles
- 2Angle ODE = (180 − 62) ÷ 2 = 59°
Answer59
الجزء (aivc) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل نفسه. المطلوب «أوجد» قياس الزاوية بين وتر والجزء الممتد من المستقيم المار بالمركز خارج الدائرة.
كيف تحلّه؟
نجد أولًا زاوية القاعدة الأخرى في المثلث المتطابق الضلعين، فهي تساوي التي وجدناها. ثم نطرحها من الزاوية القائمة في نصف الدائرة لنحصل على الزاوية بين الوتر ونصف القطر. وأخيرًا نطرح الناتج من مئة وثمانين درجة لأن المستقيم الممتد خط مستقيم. انتبه أن الزاوية المطلوبة منفرجة.
- 1Angle OED = angle ODE = 59°
- 2Angle OEB = 90 − 59 = 31°
- 3AOEF is straight, so angle BEF = 180 − 31 = 149°
Answer149
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
عبارة «اكتب» تعني أن تذكر الإجابة مباشرة. المطلوب خاصيتان هندسيتان تجعلان المضلع «منتظمًا».
كيف تحلّه؟
المضلع المنتظم يحقق شرطين معًا: أحدهما يتعلق بأضلاعه والآخر يتعلق بزواياه. اذكر الشرطين كليهما، فلا يكفي أحدهما وحده؛ فالمعين مثلًا أضلاعه متساوية لكنه ليس منتظمًا.
- 1All sides are equal
- 2All interior angles are equal
AnswerEqual sides and equal angles
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن تحسب قياس زاوية داخلية واحدة في مضلّع منتظم له عشرة أضلاع، مع إظهار خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
نقسم ثلاثمئة وستين على عدد الأضلاع لنحصل على الزاوية الخارجية، ثم نطرحها من مئة وثمانين درجة. أو نجد مجموع الزوايا الداخلية ثم نقسمه على عدد الزوايا.
- 1Exterior angle = 360 ÷ 10 = 36°
- 2Interior angle = 180 − 36 = 144°
Answer144
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس تطبيق نظريات الدائرة معًا بالعربي
تدرّب على أسئلة تطبيق نظريات الدائرة معًا
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara