حل السؤال 2، 0580/41 مايو/يونيو 2023: اختيار النسبة المثلثية المناسبة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 16 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منشور ثلاثي نعرف طوله وحجمه، ونعرف طولي ضلعين في مقطعه المثلث. المطلوب أن تُثبت أن الزاوية بين هذين الضلعين تساوي القيمة المعطاة مقرّبة لأقرب درجة. «أثبت أن» تعني أن تكتب الحساب كاملًا وتُظهر قيمة أدق قبل التقريب.
كيف تحلّه؟
حجم المنشور يساوي مساحة المقطع مضروبة في الطول، فنقسم الحجم على الطول لنجد مساحة المثلث. ثم نستعمل قانون المساحة: نصف حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية بينهما، ونحلّ لإيجاد جيب الزاوية، ثم نستعمل معكوس الجيب. الفخ الشائع: نسيان النصف في قانون المساحة، أو كتابة الزاوية مقرّبة دون إظهار القيمة الأدق.
- 1Area of triangle ABE = 145 ÷ 15 = 9.666… cm²
- 21/2 × 6.4 × 5.7 × sin EBA = 9.666…
- 3sin EBA = 9.666… ÷ 18.24 = 0.52997…
- 4Angle EBA = sin⁻¹(0.52997…) = 32.00… = 32° to the nearest degree
Answersin EBA = 145/(1/2 × 6.4 × 5.7 × 15), giving 32.00
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في المقطع المثلث للمنشور نعرف طولي ضلعين، ومن الجزء السابق نعرف الزاوية بينهما. المطلوب إيجاد طول الضلع الثالث المقابل لهذه الزاوية. «أوجد» تعني أن تحسب القيمة وتكتب خطواتك.
كيف تحلّه؟
المثلث ليس قائمًا، ولدينا ضلعان والزاوية المحصورة بينهما، فنستعمل قاعدة جيب التمام: مجموع مربعي الضلعين مطروحًا منه ضعف حاصل ضربهما في جيب تمام الزاوية، ثم نأخذ الجذر. الفخ الشائع: استعمال فيثاغورس مع أن المثلث غير قائم، أو خطأ في ترتيب العمليات عند الطرح.
- 1EA² = 6.4² + 5.7² − 2 × 6.4 × 5.7 × cos 32°
- 2EA² = 73.45 − 61.87… = 11.57…
- 3EA = √11.57… = 3.402… ≈ 3.40 cm
Answer3.40 or 3.402 to 3.403
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أقصر مسافة من رأس المثلث إلى الضلع المقابل له في مقطع المنشور. «أقصر مسافة» من نقطة إلى مستقيم تعني المسافة العمودية عليه.
كيف تحلّه؟
نرسم عمودًا من الرأس إلى الضلع المقابل، فينتج مثلث قائم وتره أحد الضلعين المعلومين والزاوية المعلومة عند طرفه. العمود مقابل لهذه الزاوية، فنضرب طول الوتر في جيب الزاوية. ويمكن بدلًا من ذلك استعمال مساحة المثلث من الجزء الأول: ضعف المساحة مقسومًا على طول القاعدة. الفخ الشائع: أخذ طول الضلع المائل نفسه على أنه أقصر مسافة.
- 1The shortest distance is the perpendicular from E to AB
- 2h = 5.7 × sin 32°
- 3h = 3.020… ≈ 3.02 cm
Answer3.02 or 3.020 to 3.021
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حساب الزاوية بين قطعة مستقيمة مائلة داخل المنشور، تصل رأسًا من القاعدة برأس في الحافة العلوية عند الطرف الآخر، وبين القاعدة المستطيلة للمنشور. «الزاوية مع القاعدة» تعني الزاوية بين القطعة المائلة وظلّها العمودي على القاعدة.
كيف تحلّه؟
نحتاج مثلثًا قائمًا وتره القطعة المائلة، وضلعه الرأسي هو ارتفاع الرأس العلوي فوق القاعدة، وهو أقصر مسافة التي حسبناها في الجزء السابق. نحسب طول القطعة المائلة بفيثاغورس من طول المنشور والضلع الجانبي للمقطع، ثم نقسم الارتفاع على هذا الطول ونستعمل معكوس الجيب. الفخ الشائع: حساب الزاوية مع حافة القاعدة أو مع الوجه الجانبي بدل القاعدة نفسها.
- 1The angle is between BF and its projection on the base; the height of F above the base is 3.020… cm
- 2BF = √(15² + 5.7²) = √257.49 = 16.046…
- 3sin θ = 3.020… ÷ 16.046… = 0.1882…
- 4θ = 10.84…° ≈ 10.8°
Answer10.8 or 10.9 or 10.84 to 10.85...
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منشور معلوم حجمه، ومصنوع من بلاستيك معلومة كثافته بالكيلوغرام لكل متر مكعب، والقانون مطبوع لك: الكثافة تساوي الكتلة مقسومة على الحجم. المطلوب أن تحسب كتلة المنشور بالغرام.
كيف تحلّه؟
الصعوبة هنا في الوحدات: الحجم بالسنتيمتر المكعب والكثافة بالمتر المكعب. حوّل الحجم إلى متر مكعب بالقسمة على مليون، لأن المتر المكعب مليون سنتيمتر مكعب. اضرب الكثافة في الحجم لتحصل على الكتلة بالكيلوغرام، ثم اضرب في ألف لتحويلها إلى غرام. الخطأ الشائع القسمة على مئة أو ألف فقط عند تحويل الحجم.
- 1Volume = 145 cm³ = 145 ÷ 1 000 000 m³
- 2Mass = 938 × 145 ÷ 1 000 000 = 0.13601 kg
- 3= 136.01… g ≈ 136 g
Answer136 or 136.0...
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس اختيار النسبة المثلثية المناسبة بالعربي
تدرّب على أسئلة اختيار النسبة المثلثية المناسبة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara