حل السؤال 7، 0580/41 مايو/يونيو 2023: المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 18 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«حلّل تحليلًا كاملًا» تعني: اكتب المقدار على صورة حاصل ضرب، واستمر في التحليل حتى لا يمكن تحليل أي قوس أكثر من ذلك. التوقف قبل النهاية يُفقدك جزءًا من الدرجات.
كيف تحلّه؟
ابدأ بإخراج العامل المشترك الأكبر بين الحدّين خارج قوس. يبقى داخل القوس فرق بين مربعين، فاكتب الجذر التربيعي لكل حدّ وكوّن قوسين أحدهما بالجمع والآخر بالطرح. الفخ: التوقف بعد إخراج العامل المشترك وعدم ملاحظة فرق المربعين.
- 127y² − 3 = 3(9y² − 1)
- 29y² − 1 = (3y)² − 1² (difference of two squares)
- 3= 3(3y − 1)(3y + 1)
Answer3(3y − 1)(3y + 1)
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«حلّل تحليلًا تامًا» يعني اكتب المقدار حاصل ضرب عوامل لا تتحلل أكثر. المقدار فيه أربعة حدود مختلطة الترتيب.
كيف تحلّه؟
نجمع الحدين اللذين فيهما العدد نفسه معًا، والحدين اللذين فيهما المتغير الآخر معًا، فنُخرج من كل زوج عاملًا مشتركًا ويظهر القوس نفسه. ثم نُخرج القوس المشترك. انتبه أن العامل المُخرج من الزوج الثاني سالب.
- 12m − pk + 2k − pm = 2(m + k) − p(m + k)
- 2= (2 − p)(m + k)
Answer(2 − p)(m + k)
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «حُلّ» المعادلة، أي إيجاد قيمة المجهول التي تجعلها صحيحة. فيها كسران مقاماهما يحتويان على المجهول.
كيف تحلّه؟
اضرب كل حد في حاصل ضرب المقامين للتخلص من الكسور، وانتبه أن الكسر الأول يصبح مربع قوس. فكّ الأقواس، فستجد أن حدود مربع المجهول تُحذف من الطرفين، فتبقى معادلة من الدرجة الأولى تحلها مباشرة. الفخ: خطأ في الإشارة عند فك القوس المسبوق بإشارة الطرح.
- 1Multiply by (x + 1)(x − 1): (x − 1)² − 6(x + 1) = (x + 1)(x − 1)
- 2x² − 2x + 1 − 6x − 6 = x² − 1
- 3−8x − 5 = −1
- 4−8x = 4
- 5x = −1/2
Answer−1/2
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حلّ المعادلة التربيعية وأوجد الحلّين. يجب كتابة كل خطوات الحل، ثم تقريب كل إجابة إلى منزلتين عشريتين.
كيف تحلّه؟
عوّض بالمعاملات الثلاثة مع إشاراتها في القانون العام لحل المعادلة التربيعية. احسب المميز بدقة، ثم احسب الحلّين مرة بالجمع ومرة بالطرح، وتذكّر أن المقام هو ضعف معامل س تربيع. الخطأ الشائع: نسيان أن سالب المعامل الأوسط السالب يصبح موجبًا، وتقريب النتائج الوسيطة مبكرًا.
- 1x = (3 ± √((−3)² − 4 × 4 × (−2)))/(2 × 4)
- 2x = (3 ± √41)/8
- 3x = (3 + 6.403…)/8 = 1.175… or x = (3 − 6.403…)/8 = −0.425…
- 4x = −0.43 and x = 1.18
Answer−0.43 and 1.18
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك قانون فيه كسر، ويظهر المتغير المطلوب في الطرفين. المطلوب أن تجعله «موضوع القانون»، أي وحده في طرف ولا يظهر في الطرف الآخر.
كيف تحلّه؟
نضرب الطرفين في المقام للتخلص من الكسر ونفك القوس. نجمع الحدود التي فيها المتغير المطلوب في طرف والباقي في الطرف الآخر. نخرج المتغير عاملًا مشتركًا، ثم نقسم على القوس الباقي. الفخ هو نسيان ضرب كل حدود الطرف الآخر في المقام.
- 1k = m(4 + kp) = 4m + kpm
- 2k − kpm = 4m
- 3k(1 − pm) = 4m
- 4k = 4m/(1 − pm)
Answer4m/(1 − pm) or −4m/(pm − 1)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara