حل السؤال 8، 0580/41 مايو/يونيو 2024: المعادلات الآنية مع منحنى
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم رسمًا تقريبيًا لمنحنى الدالة التربيعية المعطاة، واكتب على الرسم القيم التي يلتقي عندها المنحنى بمحور السينات ومحور الصادات. المطلوب الشكل الصحيح والقيم، لا رسمًا دقيقًا.
كيف تحلّه؟
حلّل المقدار التربيعي إلى قوسين، ثم ساوِ كل قوس بالصفر لتجد نقطتي التقاطع مع محور السينات. عوّض س بصفر لتجد نقطة التقاطع مع محور الصادات، وهي الحد الثابت. معامل مربع س موجب، فالمنحنى على شكل حرف يو، وتقع أدنى نقطة فيه أسفل محور السينات بين الجذرين. انتبه لإشارات الجذور.
- 1x² + 7x − 18 = (x + 9)(x − 2), so it meets the x-axis at −9 and 2
- 2When x = 0, y = −18
- 3Draw a U-shaped curve through −9 and 2 on the x-axis and −18 on the y-axis, minimum below the x-axis to the left of the y-axis
AnswerCorrect sketch: U-shaped parabola with roots at x = −9 and x = 2, y-intercept −18, minimum in 3rd quadrant
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى تربيعي. المطلوب إيجاد مشتقتها، أي الدالة التي تعطي ميل المنحنى عند أي نقطة.
كيف تحلّه؟
نشتق كل حد على حدة: نضرب المعامل في الأس ثم ننقص الأس واحدًا، فحد «س» وحده يصبح معامله فقط. الحد الثابت مشتقته صفر فيختفي. الفخّ: إبقاء الحد الثابت في الجواب.
- 1Multiply by the power, then take 1 off the power: axⁿ → naxⁿ⁻¹
- 2x² → 2x
- 3−3x → −3
- 4−28 → 0
- 5dy/dx = 2x − 3
Answer2x − 3
الجزء (bii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى تربيعي. المطلوب إحداثيات نقطة الدوران، أي النقطة التي يكون عندها الميل صفرًا (رأس المنحنى).
كيف تحلّه؟
نشتق المعادلة ونساوي المشتقة بالصفر لنجد الإحداثي السيني، ويكون عددًا عشريًا. ثم نعوّضه في المعادلة الأصلية لنجد الإحداثي الصادي. يمكن أيضًا استخدام إكمال المربع للوصول إلى النتيجة نفسها.
- 12x − 3 = 0
- 2x = 1.5
- 3y = 1.5² − 3 × 1.5 − 28 = −30.25
- 4Turning point (1.5, −30.25)
Answer(1.5, −30.25)
الجزء (c) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مستقيم ومنحنى يتقاطعان في نقطتين «ب» و«ق». المطلوب «أوجد إحداثيات» النقطتين. يجب أن تُظهر كل خطوات الحل، وأن تقرّب الإجابات لأقرب منزلتين عشريتين، وهذا يدل على أن الإجابات ليست أعدادًا صحيحة.
كيف تحلّه؟
ساوِ بين عبارتي «ص» للمستقيم والمنحنى، ثم انقل كل الحدود إلى طرف واحد لتحصل على معادلة تربيعية تساوي صفرًا. استخدم القانون العام لحلّها لأنها لا تتحلل، فتحصل على قيمتين لـ«س». عوّض بكل قيمة في معادلة المستقيم لتجد «ص». الفخ الشائع: تقريب «س» قبل التعويض، فتختلف «ص» في المنزلة الأخيرة؛ استخدم القيمة الكاملة.
- 1x² − 3x − 28 = 5 − 2x
- 2x² − x − 33 = 0
- 3x = (1 ± √(1 + 132))/2 = (1 ± √133)/2
- 4x = 6.266… or x = −5.266…
- 5y = 5 − 2(6.266) = −7.53, y = 5 − 2(−5.266) = 15.53
- 6(−5.27, 15.53) and (6.27, −7.53)
Answer(−5.27, 15.53 or 15.54) and (6.27, −7.53 or −7.54)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المعادلات الآنية مع منحنى بالعربي
تدرّب على أسئلة المعادلات الآنية مع منحنى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara