حل السؤال 2، 0580/42 مايو/يونيو 2024: نظرية القطعة المتبادلة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 9 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل خط مستقيم يقطع خطين متوازيين، وإحدى الزوايا معلومة. المطلوب إيجاد قيمتي الزاويتين المجهولتين.
كيف تحلّه؟
الزاوية الأولى مجاورة للزاوية المعلومة على خط مستقيم، فنطرح المعلومة من مئة وثمانين درجة. الزاوية الثانية تبادل الأولى بين المتوازيين، فهي تساويها. انتبه إلى أن الزاوية الثانية تساوي الأولى، لا الزاوية المعلومة.
- 1a = 180 − 38 = 142 (angles on a straight line)
- 2b = a (alternate angles between parallel lines)
- 3So a = 142, b = 142
Answera = 142, b = 142
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن تحسب قياس زاوية داخلية واحدة في مضلّع منتظم له اثنا عشر ضلعًا، مع إظهار خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
نقسم ثلاثمئة وستين على عدد الأضلاع لنحصل على الزاوية الخارجية، ثم نطرحها من مئة وثمانين درجة. أو نجد مجموع الزوايا الداخلية بضرب عدد الأضلاع ناقص اثنين في مئة وثمانين ثم نقسم على عدد الزوايا.
- 1Exterior angle = 360 ÷ 12 = 30°
- 2Interior angle = 180 − 30 = 150°
Answer150
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دائرة مركزها معلوم، وثلاث نقاط على محيطها، ومماس عند إحداها، والزاوية بين المماس ووتر معطاة. المطلوب إيجاد قيمتي مجهولين: زاوية محيطية، وزاوية في المثلث المكوّن من نصفي قطرين ووتر.
كيف تحلّه؟
المجهول الأول: استخدم نظرية الزاوية بين المماس والوتر، فالزاوية المحيطية المرسومة على الوتر نفسه في القطعة المقابلة تساويها. المجهول الثاني: الزاوية المركزية ضعف الزاوية المحيطية المرسومة على القوس نفسه، ثم المثلث المكوّن من نصفي القطر متطابق الضلعين فزاويتا قاعدته متساويتان.
- 1f = 56 (alternate segment theorem)
- 2Angle MOP = 2 × 56 = 112 (angle at centre is twice angle at circumference)
- 3Triangle OMP is isosceles (OM = OP)
- 4g = (180 − 112) ÷ 2 = 34
Answerf = 56, g = 34
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل رباعي دائري مرسوم فيه قطر يقسمه إلى مثلثين، ومعطى زاويتان في أحد المثلثين. المطلوب «أوجد» قيمة المجهول، وهو الزاوية عند الرأس المقابل.
كيف تحلّه؟
نجد أولًا الزاوية الثالثة في المثلث المعطاة زاويتاه بطرحهما من مجموع زوايا المثلث، وهي الزاوية المقابلة للمجهول في الرباعي. ثم الزاويتان المتقابلتان في الرباعي الدائري مجموعهما مئة وثمانون درجة، فنطرح منها. الخطأ الشائع هو طرح الزاويتين المعطاتين مباشرة من مئة وثمانين والتوقف هناك.
- 1Angle opposite k = 180 − 24 − 27 = 129 (angles in a triangle)
- 2k = 180 − 129 = 51 (opposite angles of a cyclic quadrilateral)
Answer51
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس نظرية القطعة المتبادلة بالعربي
تدرّب على أسئلة نظرية القطعة المتبادلة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara