حل السؤال 4، 0580/42 أكتوبر/نوفمبر 2024: خصائص المماس للدائرة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
زوايا الشكل الرباعي الأربع مرموز لها بأحرف، والنسبة بين زاوية واحدة منها ومجموع الثلاث الأخرى معطاة. المطلوب إيجاد قيمة تلك الزاوية الواحدة.
كيف تحلّه؟
مجموع زوايا الرباعي ثلاثمئة وستون درجة، والنسبة تقسم هذا المجموع إلى جزأين. اجمع حدَّي النسبة لتعرف عدد الأجزاء الكلي، ثم خذ نصيب الزاوية المطلوبة من ثلاثمئة وستين. الخطأ الشائع قسمة ثلاثمئة وستين على الحد الثاني فقط.
- 1Angles of a quadrilateral add to 360°
- 2w = 3/(3 + 5) × 360 = 135
Answer135
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أربع نقاط على دائرة، ومماس عند إحداها، وخط مستقيم يقطع الشكل، وثلاث زوايا معطاة. المطلوب إيجاد الزاوية المحددة في المثلث الصغير.
كيف تحلّه؟
ابحث عن زاوية محيطية معطاة مرسومة على القوس نفسه الذي تقابله زاوية في المثلث الصغير؛ الزوايا المرسومة على القوس نفسه متساوية. بعدها تعرف زاويتين في المثلث الصغير، فاطرحهما من مئة وثمانين. زاوية المماس المعطاة لا تلزم في هذا الجزء.
- 1Angle ABD = angle ACD = 49° (angles in the same segment)
- 2In triangle ABM: angle BAM = 180 − 105 − 49
- 3Angle BAM = 26°
Answer26
الجزء (biia) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل أربع نقاط على دائرة، ومماس عند إحداها، ومعطى ثلاث زوايا. المطلوب «أوجد» قياس الزاوية عند نقطة التماس بين وترين.
كيف تحلّه؟
نجد الزاوية بين المماس والوتر على الجانب الآخر بنظرية القطعة المتبادلة، لأنها تساوي الزاوية المحيطية في القطعة المقابلة. ثم الزوايا الثلاث عند نقطة التماس على المماس تقع على خط مستقيم، فنطرح الزاويتين اللتين على جانبيها من مئة وثمانين. الزاوية المعطاة عند نقطة التقاطع داخل الدائرة لا تلزم هنا.
- 1Angle QAD = angle ACD = 49° (alternate segment theorem)
- 2Angle BAD = 180 − 45 − 49 = 86°
Answer86
الجزء (biib) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
أربع نقاط على دائرة، مع مماس ووتر يصل بين نقطتين منها. المطلوب أن تكتب سببًا هندسيًا يبيّن لماذا هذا الوتر ليس قطرًا في الدائرة.
كيف تحلّه؟
لو كان الوتر قطرًا لكانت الزاوية المقابلة له عند أي نقطة أخرى على الدائرة قائمة. من الأجزاء السابقة تعرف أن هذه الزاوية ليست قائمة، فالوتر ليس قطرًا. اكتب القاعدة: الزاوية في نصف الدائرة قائمة.
- 1Angle ABD = angle ACD = 49° (angles in the same segment)
- 2Angle ADB = angle PAB = 45° (alternate segment theorem)
- 3Angle BAD = 180 − 49 − 45 = 86°, which is not 90°
- 4If BD were a diameter, angle BAD would be 90°: Angle in a semicircle = 90°
AnswerAngle in a semicircle = 90°
الجزء (ci) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دائرة مركزها معلوم، ومماسان من نقطة خارجية، وطول نصف القطر والمسافة من المركز إلى النقطة الخارجية معطيان. المطلوب «إثبات» أن الزاوية عند المركز بين نصفي القطرين تساوي القيمة المعطاة مقرّبة لمنزلتين عشريتين، فيجب أن تُظهر خطوات تصل إلى قيمة أدق من المعطاة.
كيف تحلّه؟
المماس عمودي على نصف القطر، فالمثلث المكوّن من المركز ونقطة التماس والنقطة الخارجية قائم الزاوية. استخدم جيب التمام (المجاور على الوتر) لتجد نصف الزاوية المطلوبة. الشكل متماثل حول الخط المار بالمركز والنقطة الخارجية، فضاعف الزاوية. اكتب الناتج بأكثر من منزلتين عشريتين قبل التقريب، وإلا لا يُعتبر إثباتًا.
- 1Angle OAT = 90° (tangent ⟂ radius)
- 2cos AOT = 6.75/11.5, so angle AOT = 54.058…°
- 3Angle AOC = 2 × 54.058… = 108.117… = 108.12° (2 d.p.)
Answer108.117…
الجزء (cii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
من نقطة خارج الدائرة رُسم مماسّان يمسّان الدائرة عند نقطتين، ومعطى نصف القطر والمسافة من المركز إلى النقطة الخارجية. المطلوب أن تحسب طول القوس الأصغر بين نقطتي التماس، مع إظهار الخطوات.
كيف تحلّه؟
المماسّ عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس، فالمثلث المكوّن من المركز ونقطة التماس والنقطة الخارجية قائم. استعمل جيب التمام لإيجاد الزاوية عند المركز في هذا المثلث، ثم ضاعفها لأن الشكل متماثل. احسب طول القوس بكسر هذه الزاوية من محيط الدائرة. الخطأ الشائع نسيان مضاعفة الزاوية.
- 1Angle OAT = 90° (tangent meets radius).
- 2cos AOT = 6.75/11.5, so angle AOT = 54.06°
- 3Angle AOC = 2 × 54.06 = 108.12°
- 4Arc ABC = 108.12/360 × 2 × π × 6.75
- 5= 12.73… ≈ 12.7 cm
Answer12.7 or 12.73 to 12.74
الجزء (ciii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دائرة معلوم نصف قطرها، ومن نقطة خارجها رُسم مماسان، والمسافة من هذه النقطة إلى المركز معلومة. المطلوب حساب مساحة القطاع الكبير المحصور بين نصفي القطرين الواصلين إلى نقطتي التماس.
كيف تحلّه؟
المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس، فيتكوّن مثلث قائم بين المركز ونقطة التماس والنقطة الخارجية. نجد الزاوية عند المركز في هذا المثلث بجيب التمام ونضاعفها لنحصل على الزاوية بين نصفي القطرين. ثم نطرحها من الزاوية الكاملة لنحصل على الزاوية المنعكسة، ونحسب مساحة القطاع الكبير بها. الخطأ الشائع: حساب القطاع الصغير بدل الكبير.
- 1Reflex angle AOC = 360 − 108.12 = 251.88°
- 2Area = 251.88/360 × π × 6.75²
- 3= 100.1… ≈ 100 cm²
Answer100 or 100.1 to 100.2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس خصائص المماس للدائرة بالعربي
تدرّب على أسئلة خصائص المماس للدائرة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara