حل السؤال 5، 0580/42 مايو/يونيو 2024: المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 18 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«بسّط» تعني اكتب المقدار في أبسط صورة. داخل القوس عدد ومتغير بأس، والقوس كله مرفوع إلى أس كسري، والمطلوب الناتج بلا أقواس ولا أسس كسرية.
كيف تحلّه؟
نوزّع الأس على العدد وعلى المتغير. للعدد: مقام الأس يعني جذرًا تربيعيًا، فنأخذه أولًا ثم نرفع الناتج إلى بسط الأس. للمتغير: نضرب أسه في الأس الكسري. انتبه أن تطبّق الأس على العدد أيضًا.
- 125^(3/2) = (√25)³ = 125
- 2(x⁶)^(3/2) = x⁹
- 3= 125x⁹
Answer125x⁹
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك الحدود الخمسة الأولى من متتابعة، وأولها كسر. المطلوب إيجاد الحد العام، أي قاعدة بدلالة ن تعطيك أي حد إذا عرفت ترتيبه.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن كل حد يساوي الحد السابق مضروبًا في العدد نفسه، فالحدود كلها قوى لهذا العدد. اكتب كل حد على صورة قوة: الكسر الأول قوته سالب واحد، والواحد قوته صفر. إذن الأس دائمًا أقل من ترتيب الحد باثنين. الخطأ الشائع أن تطرح واحدًا فقط من ن كما في المتتابعات المعتادة.
- 1Each term is 6 × the one before, so terms are powers of 6.
- 21/6 = 6⁻¹, 1 = 6⁰, 6 = 6¹, 36 = 6²
- 3Term n has power n − 2.
- 4nth term = 6ⁿ⁻²
Answer6ⁿ⁻²
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أمامك حاصل ضرب ثلاثة أقواس. «فُكّ وبسّط» يعني: اضرب الأقواس كلها ثم اجمع الحدود المتشابهة لتحصل على مقدار واحد مرتب.
كيف تحلّه؟
نضرب القوسين الأولين ونبسط الناتج. ثم نضرب الناتج في القوس الثالث، كل حد في كل حد. أخيرًا نجمع الحدود المتشابهة. انتبه إلى الإشارات السالبة عند الضرب.
- 1(x + 4)(x − 3) = x² + x − 12
- 2(x² + x − 12)(3x − 1) = 3x³ − x² + 3x² − x − 36x + 12
- 3= 3x³ + 2x² − 37x + 12
Answer3x³ + 2x² − 37x + 12
الجزء (di) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة فيها كسر مقامه يحتوي على المجهول. عبارة «أثبت أنها تُبسَّط إلى» تعني أن الصورة النهائية معطاة، والمطلوب أن تُظهر كل خطوة توصلك إليها.
كيف تحلّه؟
اضرب كل حد في مقام الكسر، ولا تنسَ ضرب القوس الأول والطرف الأيمن أيضًا. فكّ الأقواس واجمع الحدود المتشابهة، ثم انقل كل الحدود إلى طرف واحد ليصبح الطرف الآخر صفرًا. الفخ: ضرب الكسر وحده في المقام وترك بقية الحدود دون ضرب.
- 1Multiply by (x − 2): (3x + 5)(x − 2) + 7 = x(x − 2)
- 23x² − 6x + 5x − 10 + 7 = x² − 2x
- 33x² − x − 3 = x² − 2x
- 42x² + x − 3 = 0
Answer(3x + 5)(x − 2) + 7 = x(x − 2) 3x² + 5x − 6x − 10 + 7 = x² − 2x 2x² + x − 3 = 0
الجزء (dii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حلّ المعادلة التربيعية بطريقة التحليل إلى عاملين، أي اكتبها على صورة حاصل ضرب قوسين يساوي صفرًا، ثم أوجد قيمتي س. المطلوب استخدام التحليل تحديدًا.
كيف تحلّه؟
ابحث عن قوسين: الحدّان الأولان حاصل ضربهما معامل س تربيع، والحدّان الأخيران حاصل ضربهما الحد الثابت، ومجموع الضرب المتقاطع يساوي معامل س. اجعل كل قوس يساوي صفرًا وحلّه. انتبه أن أحد الحلّين كسر لأن معامل س تربيع ليس واحدًا.
- 1(2x + 3)(x − 1) = 0
- 2x = −1.5 and x = 1
Answer−1.5 and 1
الجزء (e) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أسطوانة مصمتة نصف قطر قاعدتها «س» وارتفاعها مكتوب بدلالة «س»، ومساحة سطحها الكلية تساوي المساحة الكلية لنصف كرة مصمتة نصف قطرها مكتوب بدلالة «ص». المطلوب «أثبت أن» العلاقة المعطاة بين «س» تربيع و«ص» تربيع صحيحة، بخطوات كاملة. كلمة «مصمتة» تعني أن الأسطح المستوية تدخل في المساحة الكلية.
كيف تحلّه؟
المساحة الكلية للأسطوانة هي مساحة القاعدتين الدائريتين مضافًا إليها المساحة الجانبية، وهي محيط القاعدة في الارتفاع. والمساحة الكلية لنصف الكرة هي نصف مساحة الكرة مضافًا إليها الدائرة المستوية. انتبه أن نصف القطر هنا مقدار كامل، فربّعه كله مع المعامل. ساوِ بين المساحتين، واقسم الطرفين على باي وعلى معامل «س» تربيع لتصل إلى الصورة المطلوبة.
- 1Cylinder: 2πx² + 2πx × 3x = 8πx²
- 2Hemisphere: 1/2 × 4π(5y)² + π(5y)² = 50πy² + 25πy² = 75πy²
- 38πx² = 75πy²
- 4x² = 75y²/8
Answerx² = 75y²/8
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara