حل السؤال 9، 0580/42 أكتوبر/نوفمبر 2021: مقدار المتجه
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 9 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
معطاة إحداثيات نقطة البداية، ومعطى المتجه الذي يبدأ منها وينتهي عند نقطة ثانية. المطلوب إحداثيات النقطة الثانية.
كيف تحلّه؟
نقطة النهاية تساوي نقطة البداية مضافًا إليها المتجه. نجمع كل مركّبة مع الإحداثي المقابل لها. انتبه لجمع الأعداد السالبة.
- 1G = (5 − 2, −2 + 3) = (3, 1)
Answer(3, 1)
الجزء (aii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب ضرب المتجه المعطى في العدد المكتوب أمامه، وكتابة الناتج متجهًا عموديًا.
كيف تحلّه؟
نضرب كل مركّبة من مركّبتي المتجه في العدد المعطى. ننتبه للإشارة السالبة، فهي تبقى سالبة بعد الضرب في عدد موجب.
- 15 × (−2, 3) = column vector (−10, 15)
Answercolumn vector (−10, 15)
الجزء (aiii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الخطان العموديان يعنيان «مقدار» المتجه، أي طوله. المطلوب حساب طول المتجه المعطى، مقرّبًا لثلاثة أرقام معنوية إن لم يكن عددًا صحيحًا.
كيف تحلّه؟
نربّع كل مركّبة من مركّبتي المتجه ونجمع المربعين، ثم نأخذ الجذر التربيعي، كما في نظرية فيثاغورس. مربع العدد السالب موجب. نقرّب الناتج لثلاثة أرقام معنوية.
- 1|FG| = √((−2)² + 3²) = √13
- 2= 3.605… ≈ 3.61
Answer3.61 or 3.605 to 3.606
الجزء (bia) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك متوازي أضلاع أحد رؤوسه نقطة الأصل، ومعطى متجها الضلعين الخارجين منها. نقطة هي منتصف أحد الأضلاع البعيدة. المطلوب المتجه من طرف هذا الضلع إلى منتصفه بدلالة المتجهين.
كيف تحلّه؟
هذا الضلع يوازي أحد الضلعين الخارجين من الأصل ويساويه، وبنفس الاتجاه. المتجه إلى منتصفه هو نصف ذلك المتجه.
- 1AQ = 1/2 AB = 1/2 c
Answer1/2 c
الجزء (bib) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
نفس متوازي الأضلاع ونفس منتصف الضلع. المطلوب الآن المتجه من الأصل إلى منتصف الضلع بدلالة المتجهين.
كيف تحلّه؟
امشِ من الأصل على الضلع الأول حتى بداية الضلع البعيد، ثم أضف المتجه الذي وجدته في الجزء السابق. لا يلزم تبسيط آخر.
- 1OQ = OA + AQ = a + 1/2 c
Answera + 1/2 c
الجزء (biia) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في متوازي الأضلاع، متجه نقطة على القطر معطى بدلالة المتجهين، ونقطة أخرى هي منتصف الضلع العلوي. المطلوب «أثبت» أن نقطة الأصل والنقطتين تقع على خط مستقيم واحد، مع خطوات وجملة ختامية.
كيف تحلّه؟
نكتب متجه المنتصف من نقطة الأصل بالسير إلى الرأس ثم نصف الضلع. نخرج عاملًا مشتركًا من متجه النقطة الأولى ومن متجه المنتصف، فيظهر أنهما مضاعفان للمتجه نفسه. إذن هما متوازيان ويشتركان في نقطة الأصل، فالنقاط الثلاث على استقامة واحدة.
- 1OP = 2/3 a + 1/3 c = 1/3(2a + c)
- 2OQ = a + 1/2 c = 1/2(2a + c)
- 3So OQ = 1.5 × OP: OP and OQ are parallel and share the point O, so O, P and Q lie on a straight line
Answer→OP = 1/3(2a + c) and →OQ = 1/2(2a + c) OR →OP = 2/3(a + 1/2c) OR →PQ = 1/3(a + 1/2c), and correct comment e.g. have the same base vector or that they are multiples of one another and they share a common point OR e.g. →OQ = 1.5→OP, 2→PQ = →OP
الجزء (biib) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «اكتب» النسبة بين طولي القطعتين من نقطة الأصل إلى النقطتين، دون خطوات طويلة. يجب أن يكون الطرف الأول من النسبة واحدًا، والطرف الثاني عددًا قد يكون كسرًا عشريًا.
كيف تحلّه؟
نستعمل المضاعفين اللذين ظهرا في الجزء السابق أمام المتجه المشترك، فهما يعبّران عن الطولين. نقسم طرفي النسبة على الطرف الأول ليصبح واحدًا. الفخ الشائع: كتابة النسبة بعددين صحيحين، والسؤال يطلب أن يكون الطرف الأول واحدًا.
- 1OP : OQ = 1/3 : 1/2 = 1 : 1.5
Answer1 : 1.5
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس مقدار المتجه بالعربي
تدرّب على أسئلة مقدار المتجه
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara