حل السؤال 8، 0580/41 أكتوبر/نوفمبر 2021: معادلة المماس
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 16 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت قاعدة الدالة، والمطلوب إيجاد قيمة س التي تجعل ناتج الدالة يساوي سالب خمسة. أي كوّن معادلة وحُلّها، مع كتابة خطوات العمل.
كيف تحلّه؟
نساوي قاعدة الدالة بالعدد السالب المعطى، ثم ننقل الحدود بحيث يصبح حد س وحده في طرف. نقسم على المعامل لنجد س. انتبه لإشارة معامل س السالبة عند النقل والقسمة.
- 13 − 5x = −5
- 25x = 8, x = 1.6
Answer1.6
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك دالة خطية معامل س فيها سالب. المطلوب إيجاد الدالة العكسية لها، واكتبها بدلالة س مع إظهار الخطوات.
كيف تحلّه؟
اكتب ص تساوي القاعدة ثم بدّل بين س و ص. انقل الحد الذي فيه المجهول إلى طرف وحده والباقي إلى الطرف الآخر، ثم اقسم على المعامل. انتبه للإشارة السالبة فهي أكثر ما يُخطأ فيه.
- 1x = 3 − 5y
- 25y = 3 − x
- 3f⁻¹(x) = (3 − x)/5
Answer(3 − x)/5
الجزء (bi) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك دالة تربيعية، والمطلوب كتابتها على الصورة المعطاة: ثابت مطروحًا منه مربع قوس. أوجد العدد داخل القوس والثابت.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن معامل س تربيع سالب، فأخرج إشارة السالب عاملًا مشتركًا من حدّي س تربيع وس. أكمل المربع داخل القوس بأخذ نصف معامل س واطرح مربعه. عند فك إشارة السالب يتحول مربع العدد المطروح إلى جمع، فأضفه إلى الثابت الأصلي. الخطأ الشائع: الخطأ في الإشارات بسبب السالب الخارجي.
- 1x² + 3x = (x + 1.5)² − 2.25
- 2g(x) = 18 − (x + 1.5)² + 2.25
- 3g(x) = 20.25 − (1.5 + x)²
Answer20.25 − (1.5 + x)²
الجزء (bii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم رسمًا تقريبيًا لمنحنى الدالة التربيعية المعطاة، وبيّن على الرسم إحداثيي نقطة الانقلاب. «رسم تقريبي» يعني الشكل الصحيح والنقاط المهمة، لا رسمًا دقيقًا بالجدول.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن معامل س تربيع سالب، فالمنحنى مفتوح للأسفل وله نقطة عظمى. أوجد نقطة الانقلاب بإكمال المربع أو من الجزء السابق، وضعها في الربع الصحيح. أوضح أيضًا أين يقطع المنحنى محور الصادات. الخطأ الشائع: رسم المنحنى مفتوحًا للأعلى.
- 1∩-shaped parabola with maximum at (−1.5, 20.25)
- 2Crosses the y-axis at 18 and the x-axis at x = −6 and x = 3
- 3Mark the turning point (−1.5, 20.25)
AnswerCorrect sketch with max in correct quadrant at (−1.5, 20.25)
الجزء (biii) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك دالة تربيعية. المطلوب إيجاد معادلة المماس لمنحناها عند قيمة معيّنة لـ«س»، وكتابتها على صورة «ص تساوي الميل مضروبًا في س زائد المقطع الصادي».
كيف تحلّه؟
نشتق الدالة ونعوّض قيمة «س» لإيجاد ميل المماس. نعوّض قيمة «س» نفسها في الدالة الأصلية لإيجاد «ص» لنقطة التماس. ثم نعوّض الميل والنقطة في معادلة المستقيم لإيجاد المقطع الصادي. الفخّ: أخطاء الإشارة لأن الحدين المتغيرين سالبان.
- 1dy/dx = −3 − 2x
- 2At x = 4: gradient = −3 − 8 = −11
- 3y = 18 − 12 − 16 = −10
- 4−10 = −11 × 4 + c, so c = 34
- 5y = 34 − 11x
Answery = 34 − 11x
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس معادلة المماس بالعربي
تدرّب على أسئلة معادلة المماس
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara