حل السؤال 7، 0580/42 أكتوبر/نوفمبر 2021: المحيط والمساحة والحجم المركب
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
خزان حبوب مكوّن من نصف كرة فوق أسطوانة فوق مخروط، ولها جميعًا نصف القطر نفسه. المطلوب حساب حجم نصف الكرة فقط، وكتابة الإجابة «مضاعفًا لباي»، أي عددًا مضروبًا في باي دون تعويض قيمتها.
كيف تحلّه؟
حجم نصف الكرة نصف حجم الكرة الكاملة. نعوّض نصف القطر في القانون المعطى ونأخذ النصف، ونُبقي باي رمزًا ونكتب المعامل كسرًا مبسطًا. الخطأ الشائع: نسيان أخذ النصف، أو تحويل الإجابة إلى عدد عشري.
- 1Hemisphere = 1/2 × 4/3 × π × 2³
- 2= 16π/3 m³
Answer16π/3 or 5 1/3 π
الجزء (aii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
وعاء لتخزين الحبوب مكوّن من نصف كرة وأسطوانة ومخروط لها نصف القطر نفسه، وارتفاع الأسطوانة معطى وارتفاع المخروط مجهول. الحجم الكلي معطى بدلالة «ط»، والمطلوب حساب ارتفاع المخروط.
كيف تحلّه؟
اكتب حجم نصف الكرة (نصف حجم الكرة)، وحجم الأسطوانة، وحجم المخروط بدلالة ارتفاعه المجهول، وكلها بدلالة «ط». اجمعها وساوِها بالحجم الكلي، ثم اقسم الطرفين على «ط» لتبسيط المعادلة. اطرح الحجمين المعلومين ثم حل لإيجاد الارتفاع. الخطأ الشائع نسيان القسمة على اثنين في حجم نصف الكرة.
- 1Hemisphere = 1/2 × 4/3 × π × 2³ = 16π/3
- 2Cylinder = π × 2² × 5.2 = 20.8π
- 3Cone = 1/3 × π × 2² × h = 4πh/3
- 416π/3 + 20.8π + 4πh/3 = 88π/3, so 4h/3 = 24 − 20.8 = 3.2
- 5h = 3.2 × 3 ÷ 4 = 2.40
Answer2.40
الجزء (aiii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الوعاء مكوّن من نصف كرة وأسطوانة ومخروط، وهو مملوء بالحبوب. تُسحب الحبوب منه بمعدل معروف بالكيلوغرام في الساعة، وكتلة المتر المكعب الواحد من الحبوب معطاة. المطلوب حساب الزمن اللازم لتفريغ الوعاء، وكتابة الجواب بالساعات والدقائق.
كيف تحلّه؟
اجمع أحجام الأجزاء الثلاثة لتحصل على حجم الوعاء الكلي، مستعملًا ارتفاع المخروط الذي وجدته في جزء سابق. اضرب الحجم في كتلة المتر المكعب لتحصل على كتلة الحبوب كلها، ثم اقسمها على معدل السحب لتحصل على الزمن بالساعات. حوّل الجزء العشري من الساعة إلى دقائق بضربه في ستين. الخطأ الشائع هو كتابة الجزء العشري كأنه دقائق مباشرة.
- 1Mass = 88π/3 × 620 = 57 135.09… kg
- 2Time = 57 135.09… ÷ 35 000 = 1.6324… hours
- 30.6324… × 60 = 37.9 minutes
- 4Time = 1 hour 38 min
Answer1 hour 38 min or 1 hour 37.8 min to 1 hour 37.9… min
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطتان على دائرة معلوم مركزها، ونصف قطرها مجهول، والزاوية عند المركز معلومة. مساحة القطعة الصغرى المظللة بين الوتر والقوس معلومة. المطلوب إيجاد نصف القطر.
كيف تحلّه؟
مساحة القطعة تساوي مساحة القطاع ناقص مساحة المثلث الذي رأسه المركز. نكتب كلتا المساحتين بدلالة مربع نصف القطر، ونساوي الفرق بالمساحة المعطاة. نأخذ مربع نصف القطر عاملًا مشتركًا، ونقسم، ثم نأخذ الجذر التربيعي. الخطأ الشائع: نسيان طرح مساحة المثلث.
- 1Segment = sector − triangle
- 2140/360 × π × r² − 1/2 × r² × sin 140° = 65
- 3r² × 0.90033… = 65, so r² = 72.195…
- 4r = 8.496… ≈ 8.50 cm
Answer8.50 or 8.496 to 8.497
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المحيط والمساحة والحجم المركب بالعربي
تدرّب على أسئلة المحيط والمساحة والحجم المركب
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara