حل السؤال 8، 0580/42 أكتوبر/نوفمبر 2021: المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
كايتو يجري على طريق طوله معلوم بسرعة مجهولة رمزها س كيلومتر في الساعة. المطلوب: اكتب عبارة جبرية بدلالة س لعدد الساعات التي يستغرقها. «اكتب» تعني أن الجواب مباشر ولا يحتاج خطوات طويلة.
كيف تحلّه؟
الزمن يساوي المسافة مقسومة على السرعة. ضع طول الطريق في البسط والمجهول س في المقام، فتكون هذه هي العبارة المطلوبة.
- 1Time = distance ÷ speed = 12/x hours
Answer12/x or 12 ÷ x
الجزء (aii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
كايتو يركض في طريق طوله معلوم، ويوكي تمشي في الطريق نفسه بسرعة أقل وتستغرق وقتًا أطول بمقدار معلوم. المطلوب «اكتب معادلة بدلالة س»، ثم أثبت أنها تُبسَّط إلى المعادلة المعطاة بإظهار كل الخطوات.
كيف تحلّه؟
الزمن يساوي المسافة مقسومة على السرعة، فاكتب زمن كل منهما كسرًا. زمن يوكي ناقص زمن كايتو يساوي الفرق المعطى. اضرب في المقامين معًا، ثم فكّ الأقواس وانقل الحدود إلى طرف واحد، واقسم على المعامل العشري لتصبح المعاملات أعدادًا صحيحة. الفخ: طرح الزمنين بالترتيب المعكوس فتظهر الإشارات خاطئة.
- 112/(x − 4) − 12/x = 1.5
- 212x − 12(x − 4) = 1.5x(x − 4)
- 348 = 1.5x² − 6x
- 41.5x² − 6x − 48 = 0
- 5Divide by 1.5: x² − 4x − 32 = 0
Answer1.5x² − 6x − 48 = 0 leading to x² − 4x − 32 = 0
الجزء (aiii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حلّ المعادلة التربيعية بطريقة التحليل إلى عاملين، أي اكتبها على صورة حاصل ضرب قوسين يساوي صفرًا، ثم أوجد قيمتي س. المطلوب استخدام التحليل تحديدًا، لا القانون العام.
كيف تحلّه؟
ابحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت ومجموعهما يساوي معامل س، واكتب المعادلة كحاصل ضرب قوسين. اجعل كل قوس يساوي صفرًا وحلّه. انتبه للإشارات: إشارة الحل عكس إشارة العدد داخل القوس. السؤال يطلب الحلّين هنا، أما رفض السالب لأنه سرعة فيأتي في جزء لاحق.
- 1(x − 8)(x + 4) = 0
- 2x = 8 or x = −4
Answer−4 and 8
الجزء (aiv) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في هذا الجزء تمشي يوكي على الطريق نفسه، وسرعتها مرتبطة بسرعة كايتو كما في الأجزاء السابقة من السؤال. المطلوب: أوجد عدد الساعات التي تستغرقها يوكي لتمشي الطريق كله.
كيف تحلّه؟
من حل المعادلة في الجزء السابق تحصل على قيمتين للمجهول، فاختر القيمة الموجبة لأن السرعة لا تكون سالبة. استعمل العلاقة بين السرعتين لتجد سرعة يوكي. ثم اقسم طول الطريق على سرعتها لتجد الزمن. الفخ الشائع: استعمال القيمة السالبة أو استعمال سرعة كايتو بدل سرعة يوكي.
- 1Speed must be positive, so x = 8 and Yuki walks at 8 − 4 = 4 km/h
- 2Time = 12 ÷ 4 = 3 hours
Answer3
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المسافة التي تقطعها الحافلة مقرّبة لأقرب عشرة كيلومترات، وزمن الرحلة مقرّب لأقرب نصف ساعة. المطلوب حساب الحد الأدنى لسرعة الحافلة، أي أبطأ سرعة ممكنة، مع إظهار الخطوات.
كيف تحلّه؟
السرعة تساوي المسافة مقسومة على الزمن. لتكون السرعة أصغر ما يمكن، اقسم الحد الأدنى للمسافة على الحد الأعلى للزمن. وحدة تقريب الزمن نصف ساعة، فنصفها ربع ساعة. الفخ الشائع هو قسمة الحد الأدنى على الحد الأدنى، أو أخذ نصف ساعة كاملة بدل ربعها.
- 1Lower bound distance = 435 km, upper bound time = 6.25 h
- 2Lower bound speed = 435 ÷ 6.25 = 69.6 km/h
Answer69.6
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara