حل السؤال 9، 0580/43 أكتوبر/نوفمبر 2021: النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة مكتوبة في صورة حاصل ضرب عوامل. المطلوب أن تجد إحداثيات النقاط التي يقطع فيها منحناها محور السينات، أي أن تكتب كل نقطة بإحداثييها السيني والصادي.
كيف تحلّه؟
المنحنى يقطع محور السينات عندما تكون ص صفرًا. حاصل الضرب يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل صفرًا، فساوِ كل عامل بالصفر. الإحداثي الصادي لكل هذه النقاط صفر. الخطأ الشائع هو كتابة قيم س وحدها بدل الإحداثيات الكاملة، أو نسيان العامل س الذي يعطي نقطة الأصل.
- 1f(x) = 0 when x = 0, x − 1 = 0 or x − 2 = 0
- 2(0, 0), (1, 0), (2, 0)
Answer(0, 0), (1, 0), (2, 0)
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك دالة مكتوبة على صورة حاصل ضرب ثلاثة عوامل. «أثبت أن» يعني أن الناتج معطى لك، وعليك أن تكتب خطوات الفك كاملة حتى تصل إليه بلا أخطاء أو خطوات ناقصة.
كيف تحلّه؟
نضرب قوسين من الثلاثة أولًا ونبسّط الناتج، ثم نضرب الناتج في العامل الثالث ونبسّط. يجب أن تظهر كل خطوة بوضوح، فلا يكفي كتابة الناتج النهائي لأنه معطى في السؤال. انتبه للإشارات عند ضرب السالبين.
- 1x(x − 1)(x − 2) = x(x² − x − 2x + 2)
- 2= x(x² − 3x + 2) = x³ − 3x² + 2x
Answerx(x² − x − 2x + 2) or (x² − x)(x − 2) or (x − 1)(x² − 2x) leading to x³ − 3x² + 2x with no errors or omissions
الجزء (c) · 8 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة معطاة كحاصل ضرب ثلاثة أقواس. المطلوب إحداثيات نقطتي الدوران للمنحنى، أي النقطتين اللتين يكون عندهما الميل صفرًا. يجب إظهار كل خطوات العمل وتقريب الأجوبة لمنزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
نفك الأقواس أولًا لنحصل على كثيرة حدود، ثم نشتقها ونساوي المشتقة بالصفر. المعادلة الناتجة لا تتحلل، فنحلها بالقانون العام. نعوّض القيمتين غير المقرّبتين في الدالة لنجد الإحداثي الصادي، ثم نقرّب في النهاية فقط. الخطأ الشائع هو الاشتقاق قبل فك الأقواس.
- 1dy/dx = 3x² − 6x + 2
- 23x² − 6x + 2 = 0: x = (6 ± √((−6)² − 4 × 3 × 2))/(2 × 3) = (6 ± √12)/6
- 3x = 0.422… or x = 1.577…
- 4y = f(0.422…) = 0.384…, y = f(1.577…) = −0.384…
- 5Turning points (0.4, 0.4) and (1.6, −0.4)
Answer(0.4, 0.4) and (1.6, −0.4)
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
ارسم على المحورين رسمًا تقريبيًا لمنحنى الدالة التكعيبية المعطاة. المطلوب الشكل العام الصحيح، ومرور المنحنى بالنقاط الصحيحة، وموقع النقطة العظمى والصغرى بالنسبة للمحاور.
كيف تحلّه؟
استخدم نقاط التقاطع مع محور السينات التي وجدتها سابقًا. المعامل الرئيسي موجب، فيبدأ المنحنى من أسفل اليسار ويمر بنقطة الأصل. يصعد إلى نقطة عظمى فوق محور السينات بين الجذرين الأولين، ثم ينزل إلى نقطة صغرى تحته بين الجذرين الأخيرين، ثم يصعد إلى أعلى اليمين.
- 1Draw a cubic rising from bottom left through (0, 0)
- 2Maximum at about (0.4, 0.4) above the x-axis, down through (1, 0)
- 3Minimum at about (1.6, −0.4) below the x-axis, up through (2, 0) and on to top right
AnswerCorrect sketch: cubic through the origin with maximum and minimum in the correct quadrants
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى بالعربي
تدرّب على أسئلة النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara