حل السؤال 2، 0580/43 أكتوبر/نوفمبر 2022: القانون العام للمعادلة التربيعية وإكمال المربع
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 19 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
«بسّط تبسيطًا كاملًا» تعني اكتب المقدار في أبسط صورة. أمامك ضرب قوتين لنفس الأساس، والمطلوب كتابة الناتج قوةً واحدة.
كيف تحلّه؟
عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه نُبقي الأساس ونجمع الأسين. الخطأ الشائع هو ضرب الأسين بدل جمعهما.
- 1p³ × p¹¹ = p³⁺¹¹ = p¹⁴
Answerp¹⁴
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«بسّط تبسيطًا كاملًا» تعني اكتب المقدار في أبسط صورة. أمامك كسر، في بسطه ومقامه عدد ومتغير بأس، والمطلوب كتابته حدًّا واحدًا.
كيف تحلّه؟
نقسم العدد في البسط على العدد في المقام، ثم نقسم قوتي المتغير بطرح أس المقام من أس البسط. انتبه: نطرح الأسين ولا نقسمهما.
- 118 ÷ 3 = 6, m⁶ ÷ m² = m⁴
- 2= 6m⁴
Answer6m⁴
الجزء (aiii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«بسّط تبسيطًا كاملًا» تعني اكتب المقدار في أبسط صورة. أمامك كسر فيه أعداد ومتغيران بأسس، والكسر كله مرفوع إلى أس سالب كسري، والمطلوب الناتج بلا أقواس ولا أسس كسرية.
كيف تحلّه؟
الأس السالب يعني مقلوب الكسر، فنقلبه ونجعل الأس موجبًا. ثم مقام الأس يعني جذرًا تكعيبيًا، فنأخذ الجذر التكعيبي لكل عدد ونقسم كل أس على ثلاثة. الخطأ الشائع هو نسيان قلب الكسر أو ترك أحد الأعداد بلا جذر.
- 1= (64/(27x⁹y²⁷))^(1/3)
- 2∛64 = 4, ∛27 = 3, ∛(x⁹) = x³, ∛(y²⁷) = y⁹
- 3= 4/(3x³y⁹)
Answer4/(3x³y⁹) or (4x⁻³y⁻⁹)/3
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الحد العام للمتتابعة هو ثلاثة مضروبة في مربّع «ن». المطلوب «اكتب» الحدود الثلاثة الأولى، أي اكتب النتيجة مباشرة دون خطوات طويلة.
كيف تحلّه؟
عوّض بـ«ن» تساوي واحدًا ثم اثنين ثم ثلاثة. في كل مرة ربّع «ن» أولًا ثم اضرب في ثلاثة. الخطأ الشائع ضرب «ن» في ثلاثة ثم تربيع الناتج كله.
- 13 × 1² = 3, 3 × 2² = 12, 3 × 3² = 27
- 23, 12, 27
Answer3, 12, 27
الجزء (ci) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك الحدود الأولى من متتابعة. المطلوب إيجاد الحد النوني، أي قاعدة بدلالة ن تعطي أي حد.
كيف تحلّه؟
أوجد الفرق الثابت بين الحدود، فهو معامل ن. ثم اطرح هذا الفرق من الحد الأول لتجد العدد الثابت الذي يُضاف. تحقق بالتعويض بالرتبة الأولى.
- 1Common difference 3, so 3n + k
- 2First term: 3 × 1 + k = 13, k = 10
- 3nth term = 3n + 10
Answer3n + 10
الجزء (cii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أمامك الحدود الأولى من متتابعة. المطلوب إيجاد الحد العام (الحد رقم «ن»)، أي قاعدة بدلالة «ن» تعطي أي حد فيها.
كيف تحلّه؟
احسب الفروق الأولى ثم الثانية ثم الثالثة؛ الفرق الثالث ثابت فالمتتابعة تكعيبية، ومعامل مكعّب «ن» هو الفرق الثالث مقسومًا على ستة. اطرح هذا الجزء من كل حد، فيبقى عدد ثابت تضيفه إلى القاعدة. الخطأ الشائع جعل المعامل مساويًا للفرق الثالث كله.
- 1Differences 14, 38, 74, 122 → 24, 36, 48 → 12, 12: cubic with 12 ÷ 6 = 2, so 2n³
- 2Sequence − 2n³: 3 − 2 = 1, 17 − 16 = 1, 55 − 54 = 1
- 3nth term = 2n³ + 1
Answer2n³ + 1
الجزء (d) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حلّ المعادلة وإيجاد قيمة «س». في الطرف الأيسر مقدار كامل مقسوم على أربعة. اكتب خطواتك.
كيف تحلّه؟
اضرب الطرفين في أربعة للتخلص من المقام، ثم أضف العدد المطروح إلى الطرفين، واقسم على معامل «س». الفخ: إضافة العدد قبل ضرب الطرفين، مع أن المقام يقسم المقدار كله.
- 13x − 22 = 4 × 23 = 92
- 23x = 114
- 3x = 38
Answer38
الجزء (e) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حلّ المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية، وأوجد الحلّين. يجب كتابة كل الخطوات، وتقريب كل إجابة إلى منزلتين عشريتين.
كيف تحلّه؟
حدّد المعاملات الثلاثة مع إشاراتها وعوّض بها في القانون العام. احسب المميز بدقة، ثم احسب الحلّين مرة بالجمع ومرة بالطرح، وقرّب كلًّا منهما في النهاية فقط. الخطأ الشائع: الخطأ في إشارة الحد الثابت السالب داخل المميز.
- 1x = (−8 ± √(8² − 4 × 3 × (−20)))/(2 × 3)
- 2= (−8 ± √304)/6
- 3x = (−8 + 17.435…)/6 = 1.572… or x = (−8 − 17.435…)/6 = −4.239…
- 4x = −4.24, 1.57
Answer−4.24, 1.57
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس القانون العام للمعادلة التربيعية وإكمال المربع بالعربي
تدرّب على أسئلة القانون العام للمعادلة التربيعية وإكمال المربع
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara