حل السؤال 8، 0580/43 أكتوبر/نوفمبر 2022: قانون جيب التمام
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ثلاث نقاط على دائرة تكوّن مثلثًا معلومة أطوال أضلاعه الثلاثة. المطلوب أن «تبيّن» أن الزاوية المحددة تساوي القيمة المعطاة مقرّبة إلى منزلة عشرية واحدة. المماس والمركز لا نحتاجهما هنا.
كيف تحلّه؟
نطبّق قاعدة جيب التمام لإيجاد الزاوية، والضلع المقابل لها هو الأطول هنا. اكتب جيب التمام ثم الزاوية بأكثر من منزلة عشرية قبل التقريب حتى يكون الإثبات كاملًا.
- 110² = 9.5² + 7.7² − 2 × 9.5 × 7.7 × cos B
- 2cos B = (90.25 + 59.29 − 100)/146.3 = 49.54/146.3 = 0.3386…
- 3B = 70.207…° = 70.2° (1 d.p.)
Answer70.206 to 70.207 or 70.21 to 70.22
الجزء (bi) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
ثلاث نقاط على دائرة مركزها معلوم، وأطوال أضلاع المثلث معطاة، والزاوية المحيطية المقابلة حسبتها في جزء سابق. المطلوب إيجاد الزاوية عند المركز المحددة.
كيف تحلّه؟
الزاوية المركزية ضعف الزاوية المحيطية المرسومة على القوس نفسه. استخدم الزاوية التي حسبتها في الجزء السابق من قانون جيب التمام، وضاعفها. احتفظ بدقة كافية في الأرقام العشرية.
- 1Angle at centre = 2 × angle at circumference
- 2AOC = 2 × 70.2 = 140.4°
Answer140.4
الجزء (bii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل دائرة مركزها «و» عليها ثلاث نقاط، والمركز متصل بنقطتين منها. المطلوب إيجاد الزاوية المحددة في المثلث الذي رأسه المركز.
كيف تحلّه؟
الزاوية عند المركز معروفة من الجزء السابق، فهي ضعف الزاوية المحيطية المقابلة للوتر نفسه. والضلعان من المركز نصفا قطر، فالمثلث متساوي الساقين. اطرح زاوية المركز من مئة وثمانين ثم اقسم الباقي على اثنين.
- 1Triangle AOC is isosceles (OA = OC)
- 2ACO = (180 − 140.4) ÷ 2 = 19.8°
Answer19.8
الجزء (biii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل نفسه، ومماس عند إحدى النقاط. المطلوب إيجاد الزاوية بين المماس والوتر المحددة.
كيف تحلّه؟
المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس. المثلث المكوّن من نصفي القطر والوتر متطابق الضلعين، فزاويتا قاعدته متساويتان، وتجدهما من الزاوية المركزية. الزاوية المطلوبة هي ما يتبقى من الزاوية القائمة بعد طرح زاوية القاعدة. يمكنك التحقق بنظرية الزاوية بين المماس والوتر.
- 1Tangent is perpendicular to radius, so angle OCD = 90°
- 2ACD = 90 − 19.8 = 70.2°
Answer70.2
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل دائرة مركزها معلوم، وعليها ثلاث نقاط تكوّن مثلثًا معلومة أضلاعه، ومستقيم «مماس» للدائرة أي يلمسها في نقطة واحدة فقط. المطلوب: احسب نصف قطر الدائرة، مع إظهار خطواتك.
كيف تحلّه؟
المثلث الذي رأسه المركز وقاعدته الوتر متساوي الساقين لأن ضلعيه نصفا قطرين. نحتاج زاوية القاعدة فيه، ونجدها من الزاوية المحيطية المقابلة للوتر، التي نحسبها بقاعدة جيب التمام، مع نظرية المماس والوتر أو نظرية الزاوية المركزية. ثم ننزل عمودًا من المركز على الوتر فينصّفه، ونصف القطر يساوي نصف الوتر مقسومًا على جيب تمام زاوية القاعدة. الفخ هو نسيان تنصيف الوتر.
- 1Half of AC = 5 cm, cos 19.8 = 5/r
- 2r = 5 ÷ cos 19.8
- 3= 5.314… ≈ 5.31 cm
Answer5.31 or 5.314 to 5.315
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ثلاث نقاط على دائرة تكوّن مثلثًا معلومة أطوال أضلاعه الثلاثة. المطلوب أن تحسب مساحة المثلث كنسبة مئوية من مساحة الدائرة، مع إظهار الخطوات. قد تحتاج إلى نتائج من أجزاء سابقة.
كيف تحلّه؟
احسب إحدى زوايا المثلث بقاعدة جيب التمام إن لم تكن معروفة من جزء سابق، ثم مساحة المثلث بنصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما. استعمل نصف قطر الدائرة من الجزء السابق، أو أوجده بقاعدة الجيوب، واحسب مساحة الدائرة. اقسم مساحة المثلث على مساحة الدائرة واضرب في مئة. الخطأ الشائع التقريب المبكر للزاوية أو نصف القطر، مما يغيّر الناتج.
- 1Area ABC = 0.5 × 9.5 × 7.7 × sin 70.2 = 34.41… cm²
- 2Area of circle = π × 5.314…² = 88.7… cm²
- 334.41… ÷ 88.7… × 100 = 38.79… ≈ 38.8%
Answer38.8 or 38.9 or 38.78 to 38.85
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قانون جيب التمام بالعربي
تدرّب على أسئلة قانون جيب التمام
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara