حل السؤال 9، 0580/41 أكتوبر/نوفمبر 2023: الدوال المركبة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة الأولى مكتوبة على صورة حاصل ضرب ثلاثة أقواس. المطلوب حساب قيمتها عندما يكون المدخل صفرًا. عوّض واحسب، ولا حاجة لفك الأقواس.
كيف تحلّه؟
نضع الصفر مكان س في كل قوس، فيبقى في كل قوس العدد الثابت فقط. ثم نضرب الأعداد الثلاثة معًا مع الانتباه إلى أن أحدها سالب، فيكون الناتج سالبًا.
- 1f(0) = (0 + 1)(0 + 5)(0 − 4) = −20
Answer−20
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت عدة دوال، والمطلوب إيجاد الدالة العكسية للدالة الخطية الثانية، أي الدالة التي تُلغي عملها وتعيدك إلى المدخل. اكتب جوابك بدلالة س.
كيف تحلّه؟
اكتب الدالة على صورة ص تساوي القاعدة، ثم بدّل س و ص. بعد ذلك اجعل ص موضوع القانون بعكس العمليات بالترتيب المعاكس: تخلّص من الطرح أولًا بالجمع، ثم من الضرب بالقسمة. الخطأ الشائع هو القسمة قبل نقل العدد الثابت، فلا يُقسم الطرف كله.
- 1Write y = 2x − 3, then swap x and y: x = 2y − 3
- 2Add 3: x + 3 = 2y
- 3Divide by 2: g⁻¹(x) = (x + 3)/2
Answer(x + 3)/2
الجزء (aiii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حساب قيمة الدالة المركبة عند عدد معطى، بتطبيق الدالة اليمنى (الأسية) أولًا ثم اليسرى.
كيف تحلّه؟
نحسب الأس أولًا بالتعويض، ثم نحسب القوة فنحصل على ناتج الدالة الأسية. بعد ذلك نعوّض هذا الناتج في الدالة الخطية. انتبه للترتيب.
- 1h(2) = 4^(2 × 2 − 1) = 4³ = 64
- 2g(64) = 2 × 64 − 3 = 125
Answer125
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المدخل في الدالة الثانية هنا ليس س بل ضعف س، والناتج يساوي العدد المعطى. المطلوب إيجاد قيمة س، مع كتابة خطوات العمل.
كيف تحلّه؟
نضع ضعف س مكان س في قاعدة الدالة الثانية، فيتضاعف معامل س. نساوي المقدار بالعدد المعطى ثم نحل المعادلة الخطية. الفخ الشائع التعويض بـ س نفسها ونسيان المضاعفة، أو إيجاد ضعف س والتوقف عنده.
- 1g(2x) = 2(2x) − 3 = 7
- 24x = 10, x = 2.5
Answer2.5
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب تبسيط مجموع ثلاثة أشياء: الدالة بعد وضع مربع المتغير مكانه، والدالة مركبة مع نفسها، وعدد ثابت. «بسّط» تعني اكتب الناتج بأقل عدد من الحدود.
كيف تحلّه؟
نضع مربع المتغير مكان المتغير في الدالة الخطية. ثم نركّب الدالة مع نفسها بوضعها داخل قوس في نفسها ونفك القوس. نجمع الكل مع العدد الثابت ونجمع الحدود المتشابهة. الخطأ الشائع هو الخلط بين تركيب الدالة مع نفسها وتربيعها.
- 1g(x²) = 2x² − 3, gg(x) = 2(2x − 3) − 3 = 4x − 9
- 22x² − 3 + 4x − 9 + 1
- 3= 2x² + 4x − 11
Answer2x² + 4x − 11
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إيجاد قيمة الدالة العكسية للدالة الأُسّية عند العدد المعطى. معنى ذلك: ما المدخل الذي يجعل الدالة الأصلية تعطي هذا العدد؟
كيف تحلّه؟
لا تحتاج إلى إيجاد قاعدة الدالة العكسية كاملة. ساوِ الدالة الأصلية بالعدد المعطى، ثم اكتب هذا العدد قوةً للأساس نفسه. عندما يتساوى الأساسان يتساوى الأسّان، فتحصل على معادلة خطية بسيطة تحلّها. الخطأ الشائع هو التعويض بالعدد في الدالة الأصلية بدلًا من مساواتها به.
- 1h⁻¹(16) is the value of x that makes h(x) = 16
- 24^(2x − 1) = 16 = 4²
- 3So 2x − 1 = 2, giving x = 1.5
Answer1.5
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك الدالة الأولى مكتوبة حاصل ضرب ثلاثة أقواس. المطلوب فكّها وكتابتها على صورة: معامل مضروب في مكعب المتغير، ثم معامل في مربعه، ثم معامل في المتغير، ثم عدد ثابت، وإيجاد قيمة كل من هذه المعاملات الأربعة. الدالتان الأخريان لا علاقة لهما بهذا الجزء.
كيف تحلّه؟
نضرب قوسين أولًا ونبسّط فنحصل على مقدار تربيعي، ثم نضرب كل حد منه في كل حد من القوس الثالث. نجمع الحدود المتشابهة ونرتبها من القوة الأعلى إلى الأدنى، ثم نقرأ المعاملات بالترتيب. انتبه للإشارات، خاصة في معامل المتغير والحد الثابت.
- 1(3x + 1)(x + 5) = 3x² + 16x + 5
- 2(3x² + 16x + 5)(x − 4) = 3x³ − 12x² + 16x² − 64x + 5x − 20
- 3= 3x³ + 4x² − 59x − 20
- 4a = 3, b = 4, c = −59, d = −20
Answera = 3, b = 4, c = −59, d = −20
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال المركبة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال المركبة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara