حل السؤال 4، 0580/41 أكتوبر/نوفمبر 2023: المخططات الشجرية للأحداث المستقلة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لدى لوسيا قرصان دوّاران عادلان مرقّمان، وتسجّل هل يقف كل منهما على عدد أولي. المطلوب إكمال مخطط الشجرة بكتابة احتمال «أولي» و«ليس أوليًا» على الفروع الفارغة.
كيف تحلّه؟
للقرص الأول: احتمال «ليس أوليًا» هو الواحد الصحيح مطروحًا منه احتمال الأولي المعطى. للقرص الثاني: عُدّ الأجزاء التي تحمل أعدادًا أولية، مع حساب المكرر منها، واقسم على عدد الأجزاء كلها، ثم أوجد المتمم. القرصان مستقلان، فاكتب احتمالي القرص الثاني نفسيهما على زوجي الفروع. تذكّر أن الواحد ليس عددًا أوليًا.
- 1Spinner A primes: 2, 3, 5 so P(not prime) = 1 − 3/5 = 2/5
- 2Spinner B primes: 3, 3, 3, 5, 5 so P(prime) = 5/9
- 3P(not prime) on B = 4/9 (4, 4, 4, 4)
- 4Write 5/9 and 4/9 on both pairs of Spinner B branches
AnswerSpinner A: not prime 2/5; Spinner B (on both branches): prime 5/9, not prime 4/9
الجزء (aiia) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب احتمال أن يقف القرصان كلاهما على عدد أولي.
كيف تحلّه؟
اتبع المسار «أولي» ثم «أولي» في الشجرة، واضرب احتمال الأولي للقرص الأول في احتمال الأولي للقرص الثاني، ثم اختصر الكسر إلى أبسط صورة.
- 1P(both prime) = 3/5 × 5/9
- 2= 15/45 = 1/3
Answer1/3
الجزء (aiib) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب احتمال ألّا يكون العددان كلاهما أوليين، أي أن يكون واحد منهما على الأقل ليس أوليًا.
كيف تحلّه؟
عبارة «ليس كلاهما أوليًا» هي عكس «كلاهما أولي». لذلك اطرح احتمال أن يكون الاثنان أوليين، الذي وجدته في الجزء السابق، من الواحد الصحيح. الخطأ الشائع: حساب احتمال أن يكون الاثنان غير أوليين فقط، وهذا جزء من الحالات وليس كلها.
- 1Primes on A are 2, 3, 5, so P(prime) = 3/5.
- 2Primes on B are 3, 3, 3, 5, 5, so P(prime) = 5/9.
- 3P(both prime) = 3/5 × 5/9 = 1/3
- 4P(not both prime) = 1 − 1/3 = 2/3
Answer2/3
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لوسيا تدير الدوّارة الأولى عددًا معيّنًا من المرات. المطلوب العدد «المتوقع» لمرات وقوفها على عدد أولي، أي العدد الذي ننتظره في المتوسط وليس عددًا مؤكدًا.
كيف تحلّه؟
أولًا جد احتمال الوقوف على عدد أولي في مرة واحدة: عُدّ الأقسام التي عليها أعداد أولية واقسم على عدد الأقسام كلها. ثم اضرب هذا الاحتمال في عدد مرات الإدارة. الفخ أن تعدّ الواحد عددًا أوليًا، وهو ليس كذلك.
- 1P(prime on A) = 3/5
- 2Expected = 3/5 × 120 = 72
Answer72
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
تدير لوسيا القرص الثاني مرتين. المطلوب احتمال أن يكون مجموع العددين اللذين يقف عليهما مساويًا للعدد المذكور في السؤال «أو أكثر»، أي هذا العدد أو أكبر منه.
كيف تحلّه؟
اكتب كل أزواج النتائج الممكنة التي يحقق مجموعها الشرط، مع مراعاة الترتيب: الزوج نفسه بترتيب معكوس حالة مختلفة. أوجد احتمال كل عدد على القرص بعدّ الأجزاء التي تحمله، ثم اضرب الاحتمالين في كل زوج واجمع نتائج الأزواج كلها. الخطأ الشائع: نسيان الترتيب المعكوس لزوج من عددين مختلفين.
- 1Sums of 9 or more: 4 + 5, 5 + 4, 5 + 5
- 2P(4) = 4/9, P(5) = 2/9
- 3P = 4/9 × 2/9 + 2/9 × 4/9 + 2/9 × 2/9
- 4= 8/81 + 8/81 + 4/81 = 20/81
Answer20/81
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
تدير لوسيا القرص الثاني مرارًا حتى يقف على العدد أربعة. المطلوب كتابة تعبير بدلالة «ن» يعطي احتمال أن يحدث ذلك أول مرة في الدورة رقم «ن».
كيف تحلّه؟
أوجد احتمال الوقوف على أربعة بعدّ الأجزاء التي تحمله، واحتمال عدم الوقوف عليه من المتمم. كي يحدث ذلك أول مرة في الدورة رقم «ن» يجب أن يفشل في كل الدورات السابقة، وعددها «ن» ناقص واحد. فالتعبير هو احتمال الفشل مرفوعًا إلى هذه القوة، مضروبًا في احتمال النجاح. الخطأ الشائع: جعل القوة «ن» بدلًا من «ن» ناقص واحد.
- 1P(not 4) = 5/9, P(4) = 4/9
- 2First n − 1 spins are not 4, then the nth spin is 4
- 3P = (5/9)ⁿ⁻¹ × 4/9
Answer(5/9)ⁿ⁻¹ × 4/9
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المخططات الشجرية للأحداث المستقلة بالعربي
تدرّب على أسئلة المخططات الشجرية للأحداث المستقلة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara