حل السؤال 8، 0580/41 أكتوبر/نوفمبر 2023: المحيط والمساحة والحجم المركب
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مجسم مكوّن من نصف كرة صغير فوق أسطوانة، ونصف كرة كبير في الأسفل، وأنصاف الأقطار وارتفاع الأسطوانة معطاة، وقانون حجم الكرة معطى. المطلوب أن تثبت أن حجم المجسم يساوي القيمة المعطاة مقرّبة لأقرب سنتيمتر مكعب، أي أن تُظهر الحساب وناتجًا أدق قبل التقريب.
كيف تحلّه؟
احسب حجم نصف الكرة الصغير، وهو نصف حجم الكرة بنصف القطر الصغير. احسب حجم الأسطوانة بنصف القطر نفسه وارتفاعها. احسب حجم نصف الكرة الكبير بنصف قطره الكبير. اجمع الأحجام الثلاثة واكتب الناتج بمنازل عشرية قبل أن تقرّبه. انتبه أن تستعمل نصف القطر الصحيح لكل جزء.
- 1Small hemisphere = 2/3 × π × 3.6³ = 97.71…
- 2Cylinder = π × 3.6² × 6.5 = 264.64…
- 3Large hemisphere = 2/3 × π × 5.4³ = 329.79…
- 4Total = 692.15… ≈ 692 cm³
Answer692.1 to 692.2…
الجزء (aii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المجسم مكوّن من نصفي كرة وأسطوانة، وحجمه محسوب في الجزء السابق. صُنع مجسم مشابه له رياضيًا من الفضة، ومعلوم نصف قطر أسطوانته، ومعلومة كتلة السنتيمتر المكعب الواحد من الفضة. المطلوب أن تحسب الكتلة الكلية للمجسم الفضي مع عرض خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
قارن نصف قطر الأسطوانة في المجسمين لتحصل على معامل الأطوال. ارفعه إلى القوة الثالثة واضربه في حجم المجسم الأصلي لتحصل على حجم المجسم الفضي. ثم اضرب هذا الحجم في كتلة السنتيمتر المكعب الواحد لتحصل على الكتلة. الفخ الشائع هو استعمال معامل الأطوال على الحجم دون تكعيبه.
- 1Length scale factor = 0.6/3.6 = 1/6
- 2Volume = 692 × (1/6)³ = 3.2037… cm³
- 3Mass = 3.2037… × 10.49 = 33.60… ≈ 33.6 g
Answer33.6 or 33.60 to 33.62
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
قطاع دائري معلوم نصف قطره وزاويته، وهي أكبر من زاوية مستقيمة. المطلوب أن تحسب طول قوس القطاع، وأن تكتب الإجابة مضاعفًا لباي، أي عددًا مضروبًا في باي دون تعويض عن باي.
كيف تحلّه؟
طول القوس يساوي كسر الزاوية من الدورة الكاملة مضروبًا في محيط الدائرة. احسب المحيط بدلالة باي، ثم اضرب في الكسر وبسّط، واترك باي كما هو.
- 1Arc = 216/360 × 2 × π × 10
- 2= 12π cm
Answer12π
الجزء (bii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
قطاع دائري معلوم نصف قطره وزاويته، يُلف ليصنع مخروطًا بضم حديه المستقيمين. المطلوب حساب حجم هذا المخروط. صيغة حجم المخروط معطاة.
كيف تحلّه؟
طول قوس القطاع يصبح محيط قاعدة المخروط، فاحسب طول القوس ثم أوجد منه نصف قطر القاعدة. نصف قطر القطاع يصبح الراسم. أوجد الارتفاع العمودي بنظرية فيثاغورس، ثم عوّض في صيغة الحجم. الخطأ الشائع: أخذ نصف قطر القطاع ارتفاعًا للمخروط.
- 1Arc length = 216/360 × 2 × π × 10 = 12π cm
- 2The arc becomes the base circumference: 2πr = 12π, so r = 6 cm.
- 3Slant height is 10 cm, so h = √(10² − 6²) = 8 cm.
- 4V = 1/3 × π × 6² × 8 = 96π = 301.59… ≈ 302 cm³
Answer302 or 301.5 to 301.6…
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المحيط والمساحة والحجم المركب بالعربي
تدرّب على أسئلة المحيط والمساحة والحجم المركب
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara