حل السؤال 4، 0580/42 أكتوبر/نوفمبر 2023: المحيط والمساحة والحجم المركب
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
قطاع دائري يُلف ليصبح مخروطًا، ومعطى نصف قطر القطاع ونصف قطر قاعدة المخروط. المطلوب حساب زاوية القطاع.
كيف تحلّه؟
طول قوس القطاع يساوي محيط قاعدة المخروط. اكتب طول القوس كجزء من محيط الدائرة الكاملة بنسبة الزاوية إلى الزاوية الكاملة، وساوِه بمحيط القاعدة. تُحذف النسبة التقريبية من الطرفين، ثم حلّ لإيجاد الزاوية.
- 1Arc length = circumference of base: x/360 × 2π × 7.5 = 2π × 1.5
- 2x = 360 × 1.5/7.5
- 3x = 72
Answer72 or 72.0
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أسطوانة معلوم نصف قطرها داخل كرة معلوم نصف قطرها، وطرفا الأسطوانة يمسّان سطح الكرة. المطلوب أن تثبت أن ارتفاع الأسطوانة يساوي القيمة المعطاة، فاكتب الخطوات التي توصل إليها.
كيف تحلّه؟
ارسم مثلثًا قائمًا: وتره نصف قطر الكرة من المركز إلى حافة طرف الأسطوانة، وأحد ضلعيه نصف قطر الأسطوانة، والضلع الآخر نصف ارتفاع الأسطوانة. استعمل نظرية فيثاغورس لإيجاد نصف الارتفاع، ثم ضاعفه. الخطأ الشائع نسيان المضاعفة في النهاية.
- 1Half the height: d² + 8² = 17², d = √(289 − 64) = √225 = 15
- 2Height = 2 × 15 = 30 cm
Answer2 × √(17² − 8²) or √(34² − 16²)
الجزء (bii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام الأسطوانة نفسها داخل الكرة، المطلوب حساب حجم الأسطوانة كنسبة مئوية من حجم الكرة. قانون حجم الكرة معطى.
كيف تحلّه؟
احسب حجم الأسطوانة بنصف قطرها وارتفاعها من الجزء السابق، واحسب حجم الكرة بالقانون المعطى. اقسم حجم الأسطوانة على حجم الكرة واضرب في مئة. يمكنك إبقاء «ط» في الحجمين لأنها تُحذف عند القسمة. انتبه لترتيب القسمة: حجم الأسطوانة في البسط.
- 1Half the cylinder height = √(17² − 8²) = √225 = 15 cm, so height = 30 cm.
- 2Cylinder volume = π × 8² × 30 = 1920π
- 3Sphere volume = 4/3 × π × 17³ = 6550.66…π
- 41920π ÷ 6550.66…π × 100 = 29.30…% ≈ 29.3
Answer29.3 or 29.30 to 29.31
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
كرة مصمتة مغمورة تمامًا في ماء داخل مكعب، ومعطى طول حرف المكعب وعمق الماء ونصف قطر الكرة. تُخرج الكرة. المطلوب حساب عمق الماء الجديد. صيغة حجم الكرة معطاة.
كيف تحلّه؟
عند إخراج الكرة ينخفض الماء بحجم يساوي حجم الكرة. هذا الحجم طبقة بشكل منشور قاعدتها قاعدة المكعب المربعة، فمقدار الانخفاض هو حجم الكرة مقسومًا على مساحة القاعدة. اطرح الانخفاض من العمق الأصلي. الخطأ الشائع: إعطاء مقدار الانخفاض بدل العمق الجديد.
- 1Sphere volume = 4/3 × π × 6³ = 904.77… cm³
- 2Fall in depth = 904.77… ÷ 20² = 2.2619… cm
- 3New depth = 15 − 2.2619… = 12.738… ≈ 12.7 cm
Answer12.7 or 12.73 to 12.74
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المحيط والمساحة والحجم المركب بالعربي
تدرّب على أسئلة المحيط والمساحة والحجم المركب
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara