حل السؤال 10، 0580/43 أكتوبر/نوفمبر 2023: المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«فُكّ الأقواس وبسّط»: أزل القوسين بالضرب، ثم اجمع الحدود المتشابهة واكتب الناتج في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
اضرب العدد أمام القوس الأول في كل حد داخله، ثم اضرب السالب أمام القوس الثاني في كل حد داخله مع الانتباه للإشارات: حدّ المجهول في القوس الثاني سالب، فيصير موجبًا بعد الضرب في السالب. اجمع حدود المجهول معًا والأعداد معًا.
- 14(2x − 1) − 6(3 − x) = 8x − 4 − 18 + 6x
- 2= 14x − 22
Answer14x − 22 or 2(7x − 11)
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المقدار فيه متغيران. المطلوب: حلّل المقدار تحليلًا كاملًا، أي أخرج أكبر عامل مشترك بين الحدين.
كيف تحلّه؟
نجد القاسم المشترك الأكبر للعددين، ونلاحظ أن س و ص موجودان في الحدين. نخرج العدد مع س و ص خارج القوس، ونقسم كل حد عليه. الخطأ الشائع نسيان ص فيبقى التحليل غير كامل.
- 1Common factor of 6x²y and 9xy is 3xy
- 26x²y + 9xy = 3xy(2x + 3)
Answer3xy(2x + 3)
الجزء (bii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«حلّل تحليلًا كاملًا» يعني اكتب المقدار حاصل ضرب عوامل لا تتحلل أكثر. المقدار فيه أربعة حدود: مربعان بينهما طرح، وحدّان آخران.
كيف تحلّه؟
نلاحظ أن الحدين الأولين فرق بين مربعين فنحللهما إلى قوسين، وأن الحدين الأخيرين لهما عامل عددي مشترك، فإذا أخرجناه ظهر أحد القوسين نفسه. ثم نُخرج هذا القوس المشترك من الجزأين. المفتاح هو التعرف على الفرق بين المربعين.
- 14x² − y² = (2x + y)(2x − y) and 8x + 4y = 4(2x + y)
- 24x² − y² + 8x + 4y = (2x + y)(2x − y) + 4(2x + y)
- 3= (2x + y)(2x − y + 4)
Answer(2x + y)(2x − y + 4)
الجزء (ci) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أنطونيو يقطع مسافتين بسرعتين بدلالة المجهول، والزمن الكلي معطى بالساعات والدقائق. عبارة «أثبت أن» تعني أن المعادلة النهائية معطاة، والمطلوب كتابة كل الخطوات للوصول إليها.
كيف تحلّه؟
حوّل الدقائق إلى كسر من الساعة واكتب الزمن الكلي كسرًا عاديًا. الزمن يساوي المسافة مقسومة على السرعة، فاكتب زمن كل جزء كسرًا وساوِ مجموعهما بالزمن الكلي. اضرب كل الحدود في جميع المقامات للتخلص من الكسور، ثم فكّ الأقواس وانقل الحدود إلى طرف واحد. الفخ: كتابة الدقائق كأنها جزء عشري من الساعة مباشرة.
- 1Time = distance ÷ speed, and 4 h 20 min = 4 1/3 = 13/3 h
- 2100/x + 150/(x + 10) = 13/3
- 3Multiply by 3x(x + 10): 300(x + 10) + 450x = 13x(x + 10)
- 4300x + 3000 + 450x = 13x² + 130x
- 513x² − 620x − 3000 = 0
Answer100/x + 150/(x + 10) = 4 1/3 leading to 13x² − 620x − 3000 = 0
الجزء (cii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة تربيعية مجهولها سرعة أنطونيو في الجزء الأول من الرحلة. المطلوب حلّها لإيجاد هذه السرعة، مع كتابة كل الخطوات وتقريب الإجابة إلى منزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
المعادلة لا تتحلل بسهولة، فاستخدم القانون العام لحل المعادلة التربيعية مع الانتباه للإشارات، واحسب المميز بدقة لأن أعداده كبيرة. ستحصل على حل موجب وآخر سالب. السرعة لا تكون سالبة، فاكتب الحل الموجب فقط مقرّبًا.
- 1x = (620 ± √((−620)² − 4 × 13 × (−3000))) ÷ (2 × 13)
- 2= (620 ± √540 400) ÷ 26
- 3x = 52.119… or x = −4.43… (speed cannot be negative)
- 4Speed = 52.1 km/h
Answer52.1
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara