حل السؤال 8، 0580/43 أكتوبر/نوفمبر 2023: قانون جيب التمام
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 17 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل مثلث قائم الزاوية معطى فيه طول الوتر وطول الضلع المقابل لزاوية عند المركز. «أثبت أن» تعني أن قياس الزاوية معطى لك، وعليك أن تكتب الحساب كاملًا وتُظهر قيمة أدق قبل التقريب إلى منزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
حدّد الضلعين بالنسبة للزاوية المطلوبة: أحدهما مقابل لها والآخر هو الوتر، فاستخدم الجيب. اقسم المقابل على الوتر ثم استخدم معكوس الجيب، واكتب الناتج بأرقام أكثر قبل التقريب. الفخ: استخدام الزاوية المنفرجة المعطاة في الشكل، فهي لا تلزم هنا.
- 1sin BOC = BC/OB = 2/6
- 2Angle BOC = sin⁻¹(1/3) = 19.47… ≈ 19.5°
Answersin BOC = 2/6 leading to 19.47…
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل مكوّن من قطاع كبير ومثلثين، ومعلوم نصف القطر وأحد أضلاع المثلث القائم والزاوية المنفرجة عند المركز. المطلوب حساب مساحة القطاع الكبير.
كيف تحلّه؟
نجد أولًا الزاوية عند المركز في المثلث القائم باستخدام الجيب، لأن الضلع المقابل والوتر معلومان. ثم زاوية القطاع الكبير هي الزاوية الكاملة حول المركز ناقص الزاوية المنفرجة وناقص تلك الزاوية. بعدها نحسب مساحة القطاع بنسبة زاويته إلى الزاوية الكاملة مضروبة في مساحة الدائرة. الخطأ الشائع: نسيان طرح زاوية المثلث القائم.
- 1In triangle OBC: sin BOC = 2/6, so angle BOC = 19.47…°
- 2Major sector angle = 360 − 135 − 19.47… = 205.52…°
- 3Area = 205.52…/360 × π × 6²
- 4= 64.56… ≈ 64.6 cm²
Answer64.6 or 64.55 to 64.58
الجزء (aiii) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل مكوّن من قطاع دائري كبير ومثلثين. معلوم نصف القطر وطول ضلع وزاوية منفرجة، ونقطة هي منتصف أحد الأضلاع. المطلوب: احسب طول الضلع المحدد، مع إظهار خطواتك.
كيف تحلّه؟
في المثلث القائم نحسب الضلع الواقع على الخط بنظرية فيثاغورس من الوتر والضلع المعلوم. وبما أن النقطة منتصف الخط نضاعف هذا الطول لنحصل على الخط كاملًا. ثم في المثلث الآخر نطبّق قاعدة جيب التمام بنصف القطر والخط الكامل والزاوية المنفرجة بينهما. انتبه أن جيب تمام الزاوية المنفرجة سالب، فيصير الحد المطروح مضافًا.
- 1OC = √(6² − 2²) = √32 = 5.656…
- 2OD = 2 × 5.656… = 11.31…
- 3AD² = 6² + 11.31…² − 2 × 6 × 11.31… × cos 135° = 36 + 128 + 96 = 260
- 4AD = √260 = 16.12… ≈ 16.1 cm
Answer16.1 or 16.10 to 16.13
الجزء (aiv) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل مكوّن من قطاع دائري أكبر من نصف دائرة ومثلثين، وبعض الأطوال والزوايا معطاة، وأجزاء سابقة من السؤال أوجدت أطوالًا أو زوايا أخرى. المطلوب المساحة الكلية للشكل.
كيف تحلّه؟
اجمع ثلاث مساحات. أولًا القطاع الكبير: أوجد زاويته بطرح الزوايا الأخرى عند المركز من الدورة الكاملة، ثم اضرب نسبتها إلى الدورة في مساحة الدائرة. ثانيًا المثلث القائم: نصف حاصل ضرب ضلعيه القائمين، وضلعه المجهول بنظرية فيثاغورس. ثالثًا المثلث الآخر: نصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما. الخطأ الشائع استعمال زاوية القطاع الصغير بدل الكبير.
- 1Triangle AOD = 1/2 × 6 × 11.31… × sin 135° = 24
- 2Triangle OBC = 1/2 × 5.656… × 2 = 5.656…
- 3Total = 64.56… + 24 + 5.656… = 94.22… ≈ 94.2 cm²
Answer94.2 or 94.3 or 94.15 to 94.27…
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
قطاعان دائريان متشابهان رياضيًا. أُعطي نصف قطر كل منهما ومساحة الأصغر، والمطلوب حساب مساحة القطاع الأكبر مع إظهار خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
اقسم نصف قطر الكبير على نصف قطر الصغير لتحصل على معامل الأطوال. ربّعه لتحصل على معامل المساحة، ثم اضرب مساحة الصغير فيه. الفخ: ضرب المساحة في نسبة نصفي القطر مباشرة دون تربيعها.
- 1Length scale factor = 20 ÷ 8 = 2.5
- 2Area scale factor = 2.5² = 6.25
- 3Area = 160 × 6.25 = 1000 cm²
Answer1000
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قانون جيب التمام بالعربي
تدرّب على أسئلة قانون جيب التمام
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara