حل السؤال 11، 0580/43 أكتوبر/نوفمبر 2024: الدوال المركبة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت عدة دوال، والمطلوب حساب قيمة الدالة الثانية عندما يكون المدخل سالب ثلاثة. عوّض العدد مكان س واحسب.
كيف تحلّه؟
نضع سالب ثلاثة بين قوسين مكان س. ضرب المعامل السالب في عدد سالب يعطي موجبًا، فيتحول الطرح إلى جمع. هذا هو موضع الخطأ الشائع.
- 1g(−3) = 1 − 2(−3)
- 2= 7
Answer7
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن تجمع ثلاثة أشياء: حاصل ضرب الدالتين، والدالة المركبة منهما، والعدد واحد، ثم تبسّط الناتج إلى أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
حاصل الضرب يعني ضرب القوسين وفكهما. أما الدالة المركبة فتعني وضع الدالة الثانية داخل قوس مكان المتغير في الأولى. نجمع الناتجين مع الواحد ونجمع الحدود المتشابهة. الخطأ الشائع هو الخلط بين الضرب والتركيب.
- 1f(x)g(x) = (2x + 5)(1 − 2x) = 2x − 4x² + 5 − 10x
- 2fg(x) = 2(1 − 2x) + 5 = 7 − 4x
- 3Sum + 1 = −4x² − 8x + 5 + 7 − 4x + 1
- 4= −4x² − 12x + 13
Answer−4x² − 12x + 13
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت عدة دوال، والمطلوب إيجاد الدالة العكسية للدالة الثانية، أي الدالة التي تُلغي عملها. اكتب جوابك بدلالة س.
كيف تحلّه؟
اكتب الدالة على صورة ص تساوي القاعدة، ثم بدّل س و ص. انقل الحد الذي فيه ص إلى طرف وحده، ثم اقسم على معامله. انتبه لإشارة السالب أمام الحد الذي فيه المجهول.
- 1x = 1 − 2y
- 22y = 1 − x
- 3g⁻¹(x) = (1 − x)/2
Answer(1 − x)/2
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب تطبيق دالة المقلوب على عدد معطى مرتين متتاليتين، أي تركيب الدالة مع نفسها، وإيجاد القيمة.
كيف تحلّه؟
نعوّض العدد في الدالة فنحصل على كسر. ثم نعوّض هذا الكسر في الدالة نفسها: نجمع الواحد إليه ثم نأخذ مقلوب الناتج. القسمة على كسر تعني الضرب في مقلوبه.
- 1h(1) = 1/(1 + 1) = 1/2
- 2h(1/2) = 1/(1/2 + 1) = 1/(3/2) = 2/3
Answer2/3
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك عدة دوال معطاة. المطلوب أن تطرح الدالة «هـ» من مقلوب الدالة «د»، وتكتب الناتج «ككسر واحد في أبسط صورة».
كيف تحلّه؟
عوّض بعبارة كل دالة فتحصل على كسرين بسط كل منهما واحد. وحّد المقامات بضربهما معًا، فيصبح بسط كل كسر هو مقام الآخر. ثم اطرح مع وضع القوس الثاني بين قوسين حتى تتوزع إشارة السالب على كل حدوده.
- 11/(2x + 5) − 1/(x + 1)
- 2= ((x + 1) − (2x + 5))/((2x + 5)(x + 1))
- 3= (−x − 4)/((2x + 5)(x + 1))
Answer(−x − 4)/((2x + 5)(x + 1)) or (−x − 4)/(2x² + 7x + 5)
الجزء (f) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لدينا عدة دوال، والمطلوب هنا الدالة ي فقط، وهي العدد اثنان مرفوعًا للأس س. أوجد قيمة س التي تجعل هذه الدالة تساوي الكسر المعطى.
كيف تحلّه؟
نكتب مقام الكسر كقوة للعدد اثنين. ثم نستخدم أن مقلوب القوة يساوي القوة نفسها بأس سالب. نساوي الأسين. لا تنسَ الإشارة السالبة.
- 12ˣ = 1/32 = 2⁻⁵
- 2x = −5
Answer−5
الجزء (g) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت قيمة الدالة العكسية للدالة الأُسّية الأخيرة، والمطلوب إيجاد قيمة س التي تجعل الدالة العكسية تساوي صفرًا.
كيف تحلّه؟
إذا كانت الدالة العكسية تحوّل س إلى صفر، فإن الدالة الأصلية تحوّل الصفر إلى س. لذلك عوّض بالصفر في الدالة الأصلية لتحصل على س مباشرة، وتذكّر أن أي عدد مرفوع للقوة صفر يساوي واحدًا. الخطأ الشائع هو محاولة إيجاد قاعدة الدالة العكسية دون حاجة.
- 1j⁻¹(x) = 0 means x = j(0)
- 2x = 2⁰ = 1
Answer1
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال المركبة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال المركبة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara