حل السؤال 11، 0606/12 فبراير/مارس 2025: الهندسة المتجهية
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 9 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث، متجها ضلعين من الرأس معلومان. نقطة في منتصف ضلع، ونقطة تقسم الضلع الآخر بنسبة ثلاثة إلى واحد، ويتقاطع مستقيمان في نقطة. المطلوب متجه نقطة التقاطع بدلالة المتجهين والثابت لمدا.
كيف تحلّه؟
ابدأ بمتجه النقطة التي تقسم الضلع: هي ثلاثة أرباع المتجه. ثم أوجد متجه المستقيم الواصل إليها من الرأس الآخر بطرح متجه البداية من متجه النهاية. نقطة التقاطع تساوي متجه الرأس زائد لمدا في هذا المتجه. الخطأ الشائع: عكس اتجاه الطرح.
- 1ON = (3/4)a
- 2BN = ON − OB = (3/4)a − b
- 3OX = OB + BX = b + λ((3/4)a − b)
AnswerOX = b + λ((3/4)a − b)
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب متجه نقطة التقاطع نفسها، لكن هذه المرة بالسير على المستقيم الآخر، أي بدلالة المتجهين والثابت ميو.
كيف تحلّه؟
متجه منتصف الضلع هو نصف متجه هذا الضلع. ثم أوجد متجه المستقيم من المنتصف إلى الرأس المقابل. نقطة التقاطع تساوي متجه المنتصف زائد ميو في هذا المتجه. انتبه لاتجاه السير من المنتصف نحو الرأس.
- 1OM = (1/2)b
- 2MA = a − (1/2)b
- 3OX = OM + MX = (1/2)b + μ(a − (1/2)b)
AnswerOX = (1/2)b + μ(a − (1/2)b)
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ»: بما أن العبارتين السابقتين تصفان النقطة نفسها، المطلوب إيجاد قيمة الثابتين لمدا وميو.
كيف تحلّه؟
ساوِ العبارتين، ثم قارن معامل المتجه الأول في الطرفين، ومعامل المتجه الثاني في الطرفين، لأن المتجهين غير متوازيين. تحصل على معادلتين في مجهولين، فحلّهما بالتعويض. الخطأ الشائع: فك الأقواس بإهمال الإشارة السالبة.
- 1b + λ((3/4)a − b) = (1/2)b + μ(a − (1/2)b)
- 2Compare a: (3/4)λ = μ
- 3Compare b: 1 − λ = 1/2 − (1/2)μ
- 41 − λ = 1/2 − (3/8)λ, so (5/8)λ = 1/2
- 5λ = 4/5, μ = 3/5
Answerλ = 4/5, μ = 3/5
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الهندسة المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة الهندسة المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara