حل السؤال 5، 0606/11 مايو/يونيو 2026: نظرية العامل ونظرية الباقي
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 11 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
كثيرة حدود من الدرجة الثالثة فيها ثابت موجب مجهول يظهر في معاملين. قيمتها عند هذا الثابت صفر. المطلوب قيمة الثابت.
كيف تحلّه؟
عوّض بالثابت مكان السين فتحصل على معادلة من الدرجة الرابعة في الثابت، لكنها تربيعية في مربعه. حلّلها كتربيعية، وارفض القيمة التي تجعل المربع سالبًا، ثم خذ الجذر الموجب. الفخ: قبول الجذر السالب والسؤال يقول إن الثابت موجب.
- 1p(a) = a⁴ + 4a² − a² − 28 = 0
- 2a⁴ + 3a² − 28 = 0
- 3(a² + 7)(a² − 4) = 0
- 4a² = 4 (a² = −7 impossible)
- 5a = 2 (a is positive)
Answera = 2
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام قيمة الثابت، المطلوب كتابة كثيرة الحدود حاصل ضرب عامل خطي في عامل تربيعي.
كيف تحلّه؟
اكتب كثيرة الحدود بالقيمة. أنت تعرف من الجزء السابق جذرًا لها، فهذا يعطي العامل الخطي. اقسم القسمة الطويلة أو قارن المعاملات لتجد العامل التربيعي. الفخ: الخطأ في إشارة العامل الخطي.
- 1p(x) = 2x³ + 4x² − 2x − 28
- 2p(2) = 0, so (x − 2) is a factor
- 3p(x) = (x − 2)(2x² + 8x + 14)
Answerp(x) = (x − 2)(2x² + 8x + 14)
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» أي باستخدام التحليل في الجزء السابق، المطلوب «بيّن أن» المعادلة كثيرة الحدود تساوي صفرًا لها جذر حقيقي واحد فقط.
كيف تحلّه؟
العامل الخطي يعطي جذرًا واحدًا. لتثبت أن العامل التربيعي لا يعطي جذورًا حقيقية احسب مميّزه: مربع المعامل الأوسط ناقص أربعة أمثال حاصل ضرب الطرفيين، وبيّن أنه سالب. ثم اكتب الاستنتاج. الفخ: محاولة حل التربيعية بدل استخدام المميّز.
- 1Discriminant of 2x² + 8x + 14 = 8² − 4 × 2 × 14 = −48
- 2−48 < 0, so 2x² + 8x + 14 = 0 has no real roots
- 3So p(x) = 0 has exactly one root, x = 2
AnswerDiscriminant of 2x² + 8x + 14 is −48 < 0, so the quadratic has no real roots and x = 2 is the only root
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس نظرية العامل ونظرية الباقي بالعربي
تدرّب على أسئلة نظرية العامل ونظرية الباقي
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara