حل السؤال 5، 0606/12 مايو/يونيو 2025: نظرية العامل ونظرية الباقي
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
كثيرة حدود تكعيبية فيها عددان صحيحان مجهولان. معطى قيمة مشتقتها عند سالب واحد، وأن «السين ناقص اثنين» عامل منها. المطلوب العددان.
كيف تحلّه؟
اشتق كثيرة الحدود وعوّض بسالب واحد وساوِ بالقيمة المعطاة، فتجد العدد الأول مباشرة. ثم استخدم نظرية العوامل: كثيرة الحدود تساوي صفرًا عند اثنين، فتجد العدد الثاني. الخطأ الشائع: الخلط بين قيمة الدالة وقيمة مشتقتها.
- 1p′(x) = 9x² − 14x + a
- 2p′(−1) = 9 + 14 + a = 21, so a = −2
- 3p(2) = 24 − 28 + 2a + b = 0
- 4−4 − 4 + b = 0, so b = 8
Answera = −2, b = 8
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» المطلوب كتابة كثيرة الحدود على صورة حاصل ضرب عوامل خطية بمعاملات صحيحة.
كيف تحلّه؟
عوّض بالعددين، ثم اقسم على العامل المعروف لتحصل على عامل تربيعي، وحلّله إلى قوسين. تحقق بضرب العوامل.
- 1p(x) = 3x³ − 7x² − 2x + 8
- 2Divide by (x − 2): p(x) = (x − 2)(3x² − x − 4)
- 33x² − x − 4 = (x + 1)(3x − 4)
- 4p(x) = (x − 2)(x + 1)(3x − 4)
Answerp(x) = (x − 2)(x + 1)(3x − 4)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام قيمتي العددين، المطلوب حل معادلة أسية فيها العدد النيبيري مرفوعًا إلى ستة وأربعة واثنين أمثال الصاد.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن المعادلة هي كثيرة الحدود نفسها لكن السين فيها هي العدد النيبيري مرفوعًا لضعف الصاد. استخدم العوامل من الجزء السابق. ارفض الحل السالب لأن الدالة الأسية موجبة دائمًا. ثم خذ اللوغاريتم الطبيعي واقسم على اثنين.
- 1Let u = e^(2y): 3u³ − 7u² − 2u + 8 = 0, i.e. p(u) = 0
- 2(u − 2)(u + 1)(3u − 4) = 0
- 3e^(2y) = 2 or e^(2y) = 4/3 (e^(2y) = −1 has no solution)
- 4y = (1/2)ln 2 or y = (1/2)ln(4/3)
Answery = (1/2)ln(4/3), y = (1/2)ln 2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس نظرية العامل ونظرية الباقي بالعربي
تدرّب على أسئلة نظرية العامل ونظرية الباقي
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara