حل السؤال 2، 0606/12 أكتوبر/نوفمبر 2025: نظرية العامل ونظرية الباقي
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 7 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
كثيرة حدود من الدرجة الثالثة فيها معاملان مجهولان صحيحان. أحد عواملها السين زائد اثنين، وعند قسمتها على السين زائد واحد يكون الباقي ستة. المطلوب المعاملان.
كيف تحلّه؟
استخدم نظرية العوامل: التعويض بسالب اثنين يعطي صفرًا. ونظرية الباقي: التعويض بسالب واحد يعطي ستة. تحصل على معادلتين خطيتين في المجهولين، حلّهما بالحذف. الفخ: التعويض باثنين وواحد بالإشارة الموجبة.
- 1p(−2) = 0: −16 + 4a − 26 + b = 0 ⇒ 4a + b = 42
- 2p(−1) = 6: −2 + a − 13 + b = 6 ⇒ a + b = 21
- 3Subtract: 3a = 21 ⇒ a = 7
- 4b = 14
Answera = 7, b = 14
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
بعد إيجاد المعاملين، المطلوب «بيّن أن» المعادلة التي فيها كثيرة الحدود تساوي صفرًا لها جذر حقيقي واحد فقط.
كيف تحلّه؟
اقسم كثيرة الحدود على العامل المعروف لتحصل على عامل تربيعي. احسب مميّز هذا العامل التربيعي: إذا كان سالبًا فلا جذور حقيقية له، فيبقى الجذر الوحيد من العامل الخطي. اكتب الاستنتاج صراحة.
- 1p(x) = 2x³ + 7x² + 13x + 14
- 2Divide by x + 2: p(x) = (x + 2)(2x² + 3x + 7)
- 3Discriminant of 2x² + 3x + 7: 3² − 4 × 2 × 7 = −47 < 0
- 4So the quadratic has no real roots and x = −2 is the only real root
Answerp(x) = (x + 2)(2x² + 3x + 7) and 2x² + 3x + 7 has discriminant 9 − 56 = −47 < 0, so x = −2 is the only real root — shown
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس نظرية العامل ونظرية الباقي بالعربي
تدرّب على أسئلة نظرية العامل ونظرية الباقي
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara