حل السؤال 7، 0606/12 فبراير/مارس 2025: التكاملات المحددة والمساحات
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل يعرض منحنى على صورة كسر زائد اثنين، ومستقيمًا، يتقاطعان في نقطة في الربع الأول. المطلوب إيجاد إحداثيي نقطة التقاطع.
كيف تحلّه؟
ساوِ معادلة المنحنى بمعادلة المستقيم، ثم اضرب في المقام لتتخلص من الكسر، ورتّب لتحصل على معادلة تربيعية تساوي صفرًا وحلّلها. خذ الحل الذي يقع في الربع الأول كما في الشكل، ثم عوّض لتجد الصاد. الفخ: إبقاء الحل السالب.
- 15/(x + 1) + 2 = 2x + 1
- 25 = (2x − 1)(x + 1)
- 32x² + x − 6 = 0
- 4(x + 2)(2x − 3) = 0
- 5x = 3/2 (A is in the first quadrant), y = 2(3/2) + 1 = 4
Answer(3/2, 4)
الجزء (b) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب المساحة «بالقيمة الدقيقة» للمنطقة المظللة المحصورة بين المنحنى والمستقيم ومحور الصادات، كما في الشكل.
كيف تحلّه؟
المنطقة المظللة هي المساحة تحت المنحنى من الصفر إلى سين نقطة التقاطع، مطروحًا منها المساحة تحت المستقيم وهي شبه منحرف. تكامل الكسر يعطي لوغاريتمًا طبيعيًا. عوّض بالحدّين واطرح. «بالقيمة الدقيقة» تعني ترك اللوغاريتم دون تقريب. الخطأ الشائع: نسيان طرح المساحة تحت المستقيم.
- 1Area = ∫ from 0 to 3/2 of (5/(x + 1) + 2) dx − area under the line
- 2Area under the line (trapezium) = (1/2)(1 + 4)(3/2) = 15/4
- 3∫ (5/(x + 1) + 2) dx = 5 ln(x + 1) + 2x
- 4[5 ln(x + 1) + 2x] from 0 to 3/2 = 5 ln(5/2) + 3
- 5Shaded area = 5 ln(5/2) + 3 − 15/4 = 5 ln(5/2) − 3/4
Answer5 ln(5/2) − 3/4
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التكاملات المحددة والمساحات بالعربي
تدرّب على أسئلة التكاملات المحددة والمساحات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara