حل السؤال 10، 0606/12 فبراير/مارس 2026: حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة لوغاريتمية: لوغاريتم مربع السين ناقص لوغاريتم السين للأساس خمسة، ناقص ثلاثة أمثال لوغاريتم خمسة للأساس السين، يساوي اثنين. المطلوب قيم السين.
كيف تحلّه؟
بسّط أول حدّين بقوانين اللوغاريتمات فيصيران لوغاريتمًا واحدًا. ثم غيّر أساس الحد الثالث فيصير مقلوب اللوغاريتم نفسه. ضع رمزًا جديدًا للوغاريتم فتحصل على معادلة تربيعية، حلّها ثم حوّل كل قيمة إلى صورة أسية.
- 1log₅(x²) − log₅ x = 2log₅ x − log₅ x = log₅ x
- 2Change of base: log_x 5 = 1/log₅ x
- 3Let u = log₅ x: u − 3/u = 2, so u² − 2u − 3 = 0
- 4(u − 3)(u + 1) = 0, u = 3 or u = −1
- 5x = 5³ = 125 or x = 5⁻¹ = 1/5
Answerx = 125, x = 1/5
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة أسية فيها ضعف قوة لثمانية، ناقص ثلاثة أمثال قوة لاثنين، ناقص عدد ثابت، والكل يساوي صفرًا. المطلوب حلها لإيجاد السين.
كيف تحلّه؟
اكتب كل القوى بأساس اثنين: ثمانية هي اثنان مكعّبًا. افصل الثوابت من الأسس بقوانين الأسس، فيظهر حد مربّع وحد بسيط للقوة نفسها. ضع رمزًا جديدًا فتصير المعادلة تربيعية. ارفض القيمة السالبة لأن القوة الأسية موجبة دائمًا.
- 18^(2x+1) = 8 × (2^(3x))² and 2^(3x+4) = 16 × 2^(3x)
- 216(2^(3x))² − 48 × 2^(3x) − 64 = 0
- 3Let u = 2^(3x): u² − 3u − 4 = 0, so (u − 4)(u + 1) = 0
- 42^(3x) = 4 (2^(3x) = −1 has no solution)
- 53x = 2, x = 2/3
Answerx = 2/3
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara