0606/11 May/June 2025 سؤال 6: قاعدتا الضرب والقسمة

Question 1

منحنى الصاد فيه تساوي كسرًا مرفوعًا للأس أربعة. المطلوب «بيّن أن» المشتقة يمكن كتابتها على صورة معطاة فيها عدد صحيح موجب مجهول، مع إيجاد هذا العدد.

Accepted Answer

استخدم قاعدة السلسلة: أنزل الأس وانقصه واحدًا، ثم اضرب في مشتقة الكسر الداخلي. اشتق الكسر بقاعدة القسمة وبسّط بسطه. ثم اجمع قوى المقام. الخطأ الشائع: إهمال مشتقة الكسر الداخلي. d/dx[(x² − 1)/(x² + 1)] = ((x² + 1)(2x) − (x² − 1)(2x))/(x² + 1)² = 4x/(x² + 1)² dy/dx = 4((x² − 1)/(x² + 1))³ × ((x² + 1)(2x) − (x² − 1)(2x))/(x² + 1)² = 4 × (x² − 1)³/(x² + 1)³ × 4x/(x² + 1)² = 16x(x² − 1)³/(x² + 1)⁵, so A = 16 Answer: dy/dx = 16x(x² − 1)³/(x² + 1)⁵ shown, A = 16

Question 2

باستخدام صورة المشتقة من الجزء السابق، المطلوب «بيّن أن» للمنحنى نقاطًا ثابتة عند ثلاث قيم معطاة للسين.

Accepted Answer

النقاط الثابتة حيث المشتقة صفر. الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا. اجعل كل عامل في البسط صفرًا واكتب القيم الناتجة. Stationary points where dy/dx = 0 16x(x² − 1)³ = 0 x = 0 or x² − 1 = 0, so x = ±1 Answer: 16x(x² − 1)³ = 0 gives x = 0 or x² = 1, so x = −1, 0, 1 (shown)

Question 3

المطلوب «باستخدام اختبار المشتقة الأولى» تحديد النقطتين الثابتتين اللتين لهما الطبيعة نفسها، وذكر هل هما عظمى أم صغرى.

Accepted Answer

لكل نقطة ثابتة افحص إشارة المشتقة قبلها مباشرة وبعدها مباشرة، بالتعويض بقيم قريبة. من السالب إلى الموجب تعني صغرى، ومن الموجب إلى السالب تعني عظمى. المقام موجب دائمًا فركّز على إشارة البسط. اكتب الإشارات كدليل. x < −1: dy/dx negative; −1 < x < 0: dy/dx positive, so x = −1 is a minimum −1 < x < 0: positive; 0 < x < 1: negative, so x = 0 is a maximum 0 < x < 1: negative; x > 1: positive, so x = 1 is a minimum x = 1 and x = −1 have the same nature: both minimum points Answer: x = 1 and x = −1 are minimum points

حل السؤال 6، 0606/11 مايو/يونيو 2025: قاعدتا الضرب والقسمة

الجزء (a) · 5 درجات

الجزء (bi) · درجة واحدة

الجزء (bii) · درجتان

تدرّب على أسئلة قاعدتا الضرب والقسمة

أسئلة أخرى على قاعدتا الضرب والقسمة