حل السؤال 8، 0606/22 مايو/يونيو 2026: الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة معرّفة بأنها واحد زائد اثنين مرفوعًا للأس السين، ومجالها يبدأ من سالب واحد. المطلوب «مدى» الدالة، أي كل القيم التي تخرج منها.
كيف تحلّه؟
الدالة الأسية متزايدة دائمًا، فأصغر قيمة لها تكون عند بداية المجال. عوّض ببداية المجال لتجد أصغر ناتج، ثم اكتب المدى على صورة متباينة: الدالة أكبر من أو تساوي هذه القيمة. الخطأ الشائع: كتابة المدى بالسين بدل الدالة.
- 1f is increasing, so its least value is f(−1) = 1 + 2⁻¹ = 1.5
- 2Range: f(x) ≥ 1.5
Answerf(x) ≥ 1.5
الجزء (bi) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة الأصلية هي واحد زائد اثنين أُس السين، ومجالها يبدأ من سالب واحد. المطلوب أن «تكتب مباشرة» مجال دالتها العكسية، دون حسابات طويلة.
كيف تحلّه؟
مجال الدالة العكسية هو مدى الدالة الأصلية نفسه، فانقل ما وجدته في الجزء الأول لكن اكتبه بالسين هذه المرة. الفخ: نقل مجال الدالة الأصلية بدل مداها.
- 1Domain of f⁻¹ = range of f
- 2x ≥ 1.5
Answerx ≥ 1.5
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
للدالة نفسها، واحد زائد اثنين مرفوعًا للأس السين، المطلوب إيجاد قاعدة الدالة العكسية، أي صيغة تعطي المدخل إذا عرفنا المخرج.
كيف تحلّه؟
اكتب الصاد تساوي واحدًا زائد اثنين أُس السين، ثم بدّل السين والصاد. اعزل الحد الأسي بطرح الواحد، ثم خذ اللوغاريتم للأساس اثنين للطرفين لتُنزل الأس. الخطأ الشائع: أخذ اللوغاريتم قبل عزل الحد الأسي.
- 1y = 1 + 2ˣ
- 2Swap: x = 1 + 2ʸ, so 2ʸ = x − 1
- 3y = log₂(x − 1)
- 4f⁻¹(x) = log₂(x − 1)
Answerf⁻¹(x) = log₂(x − 1)
الجزء (biii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
على المحاور المعطاة ارسم منحنى الدالة، «ومن ثمّ» منحنى دالتها العكسية، واكتب نقاط تقاطع كل منهما مع المحورين.
كيف تحلّه؟
احسب نقطة بداية منحنى الدالة عند بداية المجال، ونقطة قطعه لمحور الصادات بالتعويض بالصفر، ثم ارسمه متزايدًا بانحدار يشتد. منحنى العكسية انعكاس له في الخط الذي فيه الصاد تساوي السين، فتتبادل إحداثيات كل نقطة. الفخ: رسم العكسية ممتدة خارج مجالها، أو نسيان كتابة نقاط التقاطع.
- 1f(−1) = 1.5, so y = f(x) starts at (−1, 1.5)
- 2f(0) = 1 + 1 = 2: y-intercept (0, 2)
- 3f increases ever more steeply (exponential)
- 4Reflect in y = x: y = f⁻¹(x) starts at (1.5, −1) and crosses the x-axis at (2, 0)
Answery = f(x): increasing exponential curve starting at (−1, 1.5), through (0, 2); y = f⁻¹(x): its reflection in y = x, starting at (1.5, −1), through (2, 0); intercepts (0, 2) and (2, 0)
الجزء (ci) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
دالة ثانية معرّفة لقيم السين من سالب واحد فأكثر، وقاعدتها السين مضروبًا في قوس فيه السين وعدد ثابت. المطلوب «اشرح» لماذا تكون الدالة المركّبة (الثانية بعد الأولى) موجودة.
كيف تحلّه؟
التركيب يعني أن مخرجات الدالة الأولى تدخل في الثانية، فيجب أن يقع مدى الأولى بالكامل داخل مجال الثانية. قارن المدى الذي وجدته بمجال الدالة الثانية واكتب ذلك بجملة واضحة. الخطأ الشائع: مقارنة المجالين معًا بدل المدى بالمجال.
- 1gf(x) = g(f(x)) needs every output of f to be a valid input of g
- 2Range of f is f(x) ≥ 1.5, which lies inside the domain of g, x ≥ −1
AnswerThe range of f (f ≥ 1.5) is a subset of the domain of g (x ≥ −1)
الجزء (cii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب كتابة قاعدة الدالة المركّبة، أي الدالة الثانية مطبّقة على ناتج الدالة الأولى.
كيف تحلّه؟
ضع قاعدة الدالة الأولى كاملة مكان كل سين في قاعدة الدالة الثانية، ويمكن ترك الناتج على صورة حاصل ضرب قوسين. الفخ: ضرب الدالتين بدل التعويض، أو عكس ترتيب التركيب.
- 1gf(x) = g(1 + 2ˣ)
- 2= (1 + 2ˣ)(1 + 2ˣ + k)
Answergf(x) = (1 + 2ˣ)(1 + 2ˣ + k)
الجزء (ciii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت قيمة الدالة المركّبة عند العدد ثلاثة، والمطلوب إيجاد قيمة العدد الثابت في الدالة الثانية.
كيف تحلّه؟
احسب أولًا ناتج الدالة الأولى عند ثلاثة، ثم عوّض به في قاعدة الدالة الثانية فتحصل على معادلة خطية في الثابت، ساوها بالقيمة المعطاة وحلّها. الخطأ الشائع: التعويض بثلاثة مباشرة في الدالة الثانية.
- 1f(3) = 1 + 8 = 9
- 2gf(3) = 9(9 + k) = 126
- 39 + k = 14, k = 5
Answerk = 5
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara