حل السؤال 6، 0606/11 مايو/يونيو 2026: الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 11 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
دالة تربيعية: ثلاثة أمثال مربع السين زائد ثمانية أمثاله، مجالها السين أكبر من أو تساوي ثابتًا. الدالة العكسية موجودة، والثابت أصغر قيمة ممكنة. المطلوب قيمته.
كيف تحلّه؟
لكي توجد الدالة العكسية يجب أن تكون الدالة واحدًا لواحد، أي على جانب واحد من رأس القطع. فأصغر قيمة للثابت هي سين الرأس. أوجدها باشتقاق الدالة ومساواة المشتقة بالصفر، أو بإكمال المربع. الفخ: البحث عن جذور الدالة بدل رأسها.
- 1f must be one-one, so k is the x-coordinate of the vertex
- 2dy/dx = 6x + 8 = 0
- 3x = −4/3, so k = −4/3
Answerk = −4/3
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة التربيعية نفسها بمجالها الذي يبدأ من الثابت الذي وجدته. المطلوب مدى الدالة، أي كل القيم التي تأخذها.
كيف تحلّه؟
الرأس هو النقطة الصغرى لأن المعامل الرئيسي موجب. عوّض بسين الرأس لتجد أصغر قيمة للدالة، فالمدى كل القيم الأكبر منها أو المساوية لها. اكتب المدى بدلالة الدالة لا السين. الفخ: الخطأ في الكسور عند التعويض.
- 1f(−4/3) = 3(16/9) − 32/3 = −16/3
- 2Range: f(x) ≥ −16/3
Answerf ≥ −16/3
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة التربيعية نفسها بمجالها المقيّد. المطلوب صيغة للدالة العكسية بدلالة السين، مع اختيار الإشارة الصحيحة.
كيف تحلّه؟
اكتب السين تساوي القاعدة بعد تبديل الرمزين، فتحصل على معادلة تربيعية في المتغير الجديد. رتّبها لتساوي صفرًا وطبّق القانون العام، والحد الثابت فيها هو سالب السين. اختر الإشارة التي تجعل الناتج داخل المجال، أي أكبر من سين الرأس. الفخ: إبقاء الإشارتين معًا.
- 1Let y = f⁻¹(x): x = 3y² + 8y
- 23y² + 8y − x = 0
- 3y = (−8 ± √(64 + 12x))/6
- 4y ≥ −4/3, so take +: f⁻¹(x) = (−8 + √(64 + 12x))/6
Answerf⁻¹(x) = (−8 + √(64 + 12x))/6
الجزء (di) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
دالة ثانية: ثلاثة مرفوعًا إلى السين، مجالها السين أكبر من سالب ستة. المطلوب «اكتب» مجال الدالة الثانية بعد الأولى.
كيف تحلّه؟
التركيب يبدأ بالدالة الأولى، فمجاله مجال الأولى بشرط أن يقع مداها داخل مجال الثانية. قارن مدى الأولى من الجزء السابق بمجال الثانية. الفخ: كتابة مجال الدالة الثانية.
- 1gf has the same domain as f, since the range of f (f ≥ −16/3) lies in the domain of g (x > −6)
- 2Domain: x ≥ −4/3
Answerx ≥ −4/3
الجزء (dii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حل المعادلة: الدالة الثانية بعد الأولى تساوي سبعة وعشرين، مع الانتباه لمجال التركيب الذي وجدته في الجزء السابق.
كيف تحلّه؟
التركيب هو ثلاثة مرفوعًا إلى قاعدة الدالة الأولى. اكتب سبعة وعشرين قوةً لثلاثة وساوِ الأسس، فتحصل على معادلة تربيعية وحلّلها. ثم تحقّق من كل حل: هل يقع في مجال التركيب؟ الفخ: إبقاء الحل الذي يقع خارج المجال.
- 1gf(x) = 3^(3x² + 8x) = 27 = 3³
- 23x² + 8x = 3
- 33x² + 8x − 3 = 0, (3x − 1)(x + 3) = 0
- 4x = 1/3 or x = −3
- 5x = −3 is not in the domain x ≥ −4/3, so x = 1/3
Answerx = 1/3
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara