حل السؤال 8، 0606/13 مايو/يونيو 2026: الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 13 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
دالة أسية: العدد النيبيري مرفوعًا إلى ضعف السين زائد واحد، مجالها كل الأعداد الحقيقية. المطلوب «اذكر» مدى دالتها العكسية.
كيف تحلّه؟
مدى الدالة العكسية هو مجال الدالة الأصلية، لأن العكس يبدّل المدخلات والمخرجات. الفخ: كتابة مدى الدالة الأصلية بدل مجالها.
- 1The range of f⁻¹ is the domain of f
- 2Domain of f is x ∈ ℝ, so range of f⁻¹ is ℝ
Answerf⁻¹(x) ∈ ℝ (all real numbers)
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة الأسية نفسها: العدد النيبيري مرفوعًا إلى ضعف السين زائد واحد. المطلوب مجال دالتها العكسية، أي المدخلات المسموحة لها.
كيف تحلّه؟
مجال الدالة العكسية هو مدى الدالة الأصلية. فكّر في قيم الدالة الأسية: هل يمكن أن تكون سالبة أو تساوي صفرًا مهما كانت السين؟ الفخ: كتابة كل الأعداد الحقيقية أو تضمين الصفر.
- 1The domain of f⁻¹ is the range of f
- 2e^(2x+1) > 0 for all x, so the domain of f⁻¹ is x > 0
Answerx > 0
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة الأسية نفسها: العدد النيبيري مرفوعًا إلى ضعف السين زائد واحد. المطلوب صيغة دالتها العكسية بدلالة السين.
كيف تحلّه؟
اكتب الصاد تساوي القاعدة، ثم خذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين ليختفي الأسي، واعزل السين: اطرح ثم اقسم. ثم بدّل الرمزين. الفخ: نسيان إحاطة الطرح بقوس قبل القسمة.
- 1y = e^(2x+1)
- 2ln y = 2x + 1
- 3x = (1/2)(ln y − 1)
- 4f⁻¹(x) = (1/2)(ln x − 1)
Answerf⁻¹(x) = (1/2)(ln x − 1)
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسم منحنى الدالة الأسية، «ومن ثمّ» رسم منحنى دالتها العكسية على المحاور نفسها، مع الإحداثيات الدقيقة لنقاط القطع مع المحورين.
كيف تحلّه؟
عوّض السين صفرًا في الأسية لتجد القطع مع محور الصاد بالقيمة الدقيقة. الأسية فوق محور السين دائمًا وتقترب منه جهة اليسار. ثم اعكس المنحنى في المستقيم الصاد تساوي السين: القطع ينتقل إلى محور السين، والخط المقارب يصبح محور الصاد. الفخ: كتابة قيمة عشرية بدل الدقيقة.
- 1f(0) = e¹ = e, so y = f(x) crosses the y-axis at (0, e)
- 2f(x) > 0 and f(x) → 0 as x → −∞: asymptote y = 0
- 3Reflect in y = x to get y = f⁻¹(x)
- 4f⁻¹ crosses the x-axis at (e, 0), with asymptote x = 0
Answery = f(x): exponential curve above the x-axis, asymptotic to the negative x-axis, through (0, e); y = f⁻¹(x): its reflection in y = x, a log curve to the right of the y-axis, asymptotic to the negative y-axis, through (e, 0); no other intercepts
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara