حل السؤال 10، 0606/21 مايو/يونيو 2025: الحركة باستخدام التفاضل والتكامل
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
جسيم يتحرك في خط مستقيم، وتسارعه معطى بقاعدتين في فترتين زمنيتين. عند زمن معيّن نعرف سرعته وإزاحته. المطلوب سرعته في نهاية الفترة الأولى.
كيف تحلّه؟
السرعة هي تكامل التسارع، فكامل قاعدة الفترة الأولى وأضف ثابت التكامل. عوّض بالزمن المعطى والسرعة المعطاة لتجد الثابت، ثم عوّض بالزمن المطلوب. الفخ: نسيان ثابت التكامل أو افتراض أن السرعة صفر في البداية.
- 1v = ∫ (t² − 2) dt = t³/3 − 2t + c
- 2At t = 3: 9 − 6 + c = −1/3, so c = −10/3
- 3v = t³/3 − 2t − 10/3
- 4At t = 4: v = 64/3 − 8 − 10/3 = 10
Answerv = 10 m/s
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إزاحة الجسيم عن النقطة الثابتة في نهاية الفترة الأولى، مستعملًا الإزاحة المعطاة عند الزمن المعلوم.
كيف تحلّه؟
الإزاحة هي تكامل السرعة، فكامل قاعدة السرعة التي وجدتها مع ثابتها، وأضف ثابت تكامل جديدًا. عوّض بالزمن والإزاحة المعطاة لتجد الثابت الجديد، ثم عوّض بالزمن المطلوب. الفخ: استخدام ثابت السرعة نفسه بدل إيجاد ثابت جديد للإزاحة.
- 1s = ∫ (t³/3 − 2t − 10/3) dt = t⁴/12 − t² − (10/3)t + d
- 2At t = 3: 81/12 − 9 − 10 + d = −1/4, so d = 12
- 3s = t⁴/12 − t² − (10/3)t + 12
- 4At t = 4: s = 64/3 − 16 − 40/3 + 12 = 4
Answers = 4 m
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إزاحة الجسيم عن النقطة الثابتة عند نهاية الفترة الثانية، حيث التسارع عدد ثابت ناقص مضاعف لعدد نيبيري مرفوع إلى أس فيه الزمن.
كيف تحلّه؟
كامل قاعدة الفترة الثانية لتجد السرعة، وانتبه أن تكامل الأس يقسم على معامل الزمن ويغيّر الإشارة. استخدم السرعة في بداية الفترة الثانية (من الجزء الأول) لتجد الثابت. ثم كامل مرة ثانية للإزاحة، واستخدم الإزاحة في بداية الفترة الثانية لتجد الثابت الجديد، وعوّض بالزمن المطلوب. الفخ: استخدام معلومات الزمن الأول المعطى بدل بداية الفترة الثانية.
- 1v = ∫ (19 − 5e^(8 − 2t)) dt = 19t + (5/2)e^(8 − 2t) + c
- 2At t = 4, v = 10: 76 + 5/2 + c = 10, so c = −137/2
- 3s = 19t²/2 − (5/4)e^(8 − 2t) − (137/2)t + d
- 4At t = 4, s = 4: 152 − 5/4 − 274 + d = 4, so d = 509/4
- 5At t = 10: s = 950 − (5/4)e^(−12) − 685 + 509/4 ≈ 392.2
Answers = 392 m (392.2)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الحركة باستخدام التفاضل والتكامل بالعربي
تدرّب على أسئلة الحركة باستخدام التفاضل والتكامل
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara